专题04 一元二次方程根的分布问题-备战2020年高考数学规律方法专练.docx

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1、一元二次方程根的分布在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次方程根的分布问题．一、方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)＜0例1　方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根一个大于2，另一个小于2，求实数m的取值范围．【解析】设f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，符合题意的f(x)如图．方程一根大于2，另一根小于2，等价于f(2)＜0，即8·22－(m－1)·2＋m－7＝27－m＜0.解得m的取值范围是m＞27.【思与感悟】反　用于限制一元二次方程根的分布的工具有三个：①判别式Δ；②对称轴

2、；③区间端点函数值的符号，但不一定每次每个工具都用到，同学可以结合图形按需取用．【跟踪训练1】　已知方程x2－a2x－a＋1＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1，x2＞1.则实数a的取值范围是．【答案】(－∞，－2)【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.依题意有解得a＜－2.二、方程f(x)＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1＜k2的条件是例2　方程x2－(m－1)x＋m－7＝0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，求实数m的取值范围．【解析】设f(x)＝x2－(m－1)x＋m－7.符合题意的f(x)图象如图．两根x1，x2满足x1<－1，x

3、2>2，则即解得m∈.【反思与感悟】　如果求出两根：x1＝，x2＝，再解不等式组[来源:学,科,网]显然比本例解法要麻烦得多．【跟踪训练2】　关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.依题意有即解得m＜－.三、方程f(x)＝0在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是[来源:学科网]例3　方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m的取值范围．【解析】方法一　设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图

4、，如图．若两实根均大于1，需即解得m≥25.方法二　设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，故有即解得所以m≥25.【反思与感悟】在方法一中，如果少了条件Δ≥0，就会有导致范围扩大．同学可以自行考虑如果少了条件2，条件3会怎样．在方法二中，⇒但⇏例如x1＝4，x2＝.所以不是等价条件．【跟踪训练3】　若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是．【答案】　(4，＋∞)【解析】　依题意有解得m＞4.四、方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两

5、个实根的条件是例4　方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根都在区间(1,3)内，求实数m的取值范围．【解析】　设f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，[来源:Zxxk.Com]符合题意的f(x)图象如图则即所以25≤m＜34.【反思与感悟】　本例中四个限制条件缺一不可，同学可以思考如果去掉其中一个条件会怎样．如去掉对称轴的限制，则会包含两根均小于1或均大于3的情形．其本质是用零点存在定理限制区间，上各有一个零点．[来源:学&科&网]【跟踪训练4】　函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【解析】　依题

6、意有解得－5＜a＜－2.[来源:学科网ZXXK]