高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修.doc

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1、第三章　三角恒等变换3．1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．一、二倍角的正弦、余弦、正切公式在公式sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ中，令β＝α，得到sin2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；在公式cos＝cosαcosβ－sinαsinβ中，令β＝α，得到cos2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；在公式ta

2、n＝中，令β＝α，得到tan2α＝，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin15°cos15°＝．练习2：cos2－sin2＝cos_α．练习3：＝tan_4α．1.二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？解析：注意tan2α＝这个公式，因为要使tan2α，tanα有意义，即2α≠＋kπ且α≠＋kπ(k∈Z)还有1－tan2α≠0即tanα≠±1从而推出α≠＋kπ(k∈Z)综上所述α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)而公式S2α、C2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角等等．又如α＝

3、2×，＝2×，…，＝2×等等．(2)当α＝kπ＋时，tanα的值不存在，这时求tan2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin2α≠2sinα，例如sin≠2sin.(4)公式的逆用变形．升幂公式：1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sin2α＝．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝．2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y＝2cos2－1的奇偶性与周期性．解析：∵y＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin2x，∴函数y＝2cos2－1为奇函数，且其最小正周期T＝＝π.　　　　　　　　　　　　　　　　1．若sin＝，cos＝－，则角α是(C)A．第

4、一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角解析：∵sinα＝2sincos＝2××＝－<0，cosα＝cos2－sin2＝－＝－<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是．分析：由sin2α＝2sinαcosα及sin2α＝－sinα，α∈解出α，进而求得tan2α的值．解析：∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈，sinα≠0，∴cosα＝－，∴α＝π，∴tan2α＝tanπ＝tan＝tan＝.3.的值是(A)A.B．－C.D．－解析：原式＝＝＝＝.故选A.4．已知x∈，cosx＝，则tan2

5、x＝－．解析：∵x∈，cosx＝，∴sinx＝－，tanx＝－，∴tan2x＝＝－.1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是(A)A．π　　　　B.　　　　C.　　　　D．2π解析：∵y＝cos2x，∴函数的最小正周期T＝π.故选A.2．化简·的结果是(B)A．tanαB．tan2αC．1D.解析：原式＝·＝tan2α.故选B.3．化简sinsin的结果是(B)A.sin2xB.cos2xC．－cos2xD．－sin2x解析：原式＝＝＝(cos2x－sin2x)＝cos2x.故选B.4．已知cosα＝－，且π<α<，则cos＝(B)A.B．－C.D．－解析：∵cosα＝2co

6、s2－1，∴cos2＝＝.∵π<α<，∴<<，∴cos＝－＝－.故选B.5．当3π<α<4π时，化简－(A)A.sinB．－sinC.sinD．－sin解析：－＝－＝－，∵3π<α<4π，∴<<2π，∴sin<0，cos>0.∴原式＝sin＋cos＝sin.故选A.6．已知三角形的一个内角α满足sinα＋cosα＝，则三角形的形状是(B)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析：∵sinα＋cosα＝，且sin2α＋cos2α＝1，∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝－<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角．故选B.7．已知cos＝，≤α＜，求cos的值．解析：∵

7、≤α＜，∴≤α＋＜，又cos＝∴sin＝－＝－＝－.∴cos2α＝sin＝2sincos＝2×＝－.又由cos＝，得2cos2－1＝－，即cos2＝－，∴sin2α＝.∴cos＝cos2αcos－sin2αsin＝－×－×＝－.8．已知sinα＋cosα＝(0<α<π)，求cos2α的值．解析：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，2sinαcosα＝－，又0<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα