线性代数3 线性方程组.pdf

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1、第三章线性方程组张祥朝光科学与工程系1
线性方程组的解法，《九章算术》中已作了比较完整的论述。其中所述方法相当于现代的高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
1857年，德国Grassmann分析了线性无关，维度，以及内积
1888年，意大利Peano给出了向量的严格定义2一、线性方程组的表达式1.一般形式2.增广矩阵的形式3x1+4x2−x3=534−−−15x1−x2+2x3=−11−12−13.向量方程的形式4.向量组线性组合的形式x13

2、4−−−1534−−−15x===1−122−1x1+x2+x3=x1−12−13方程组可简化为AX=b．二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组m、n不ax+ax+
+ax=b,1111221nn1一定相等！ax+ax+
+ax=b,2112222nn2



ax+ax+
+ax=b.m11m22mnnm定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的(consistent)；如果无解，就称它是不相容的．定义

3、:如果常数b全为零，方程组成为齐次的(homogeneous)，否则成为非齐次的(inhomogeneous)问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？•使方程组中的每个等式都成立的一个序数组(c,c
,c)称为方1,2n程组的一个解。全体解的集合称为解集。•任意方程组U中个方程分别乘常数相加再得到的新方程（或方程组W）称为原方程组U的线性组合。•U的解一定是W的解。•若W可以通过线性组合变回U，则W的解也是U的解，U→W是同解变形。•如果线性方程组的解不唯一，方程组的全部解的表达

4、式称为通解，其中一个解称为特解。•零解肯定是齐次线性方程组的解，称为平凡解。•非齐次线性方程组不一定有解。555•线性方程组的系数组成的矩阵A称为系数矩阵。•将bbb作为一列，加入A后面，所组成的新矩阵称为增广矩阵。•将增广矩阵进行初等行变换，为同解变形。•阶梯形矩阵：若T不为零，每个非零行上方没有零行，且各非零行从左到右第一个非零元t1j1,t2j2,t3j3,
tpjp所在的编号满足j1

5、①无解的充分必要条件是R(A)

6、0b
bd212,nr−−−200
1b
bdB===r,1rnr,−−−r00
00
0dr+++100
00
00R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋100
00
00m×(n+1)前r列后n-r列第一步：往证R(A)

7、

bd01


0d212,nr−−−22前r行00


1b


bd00


1dB===r,1rnr,−−−nn00


00


00对应的线性方程组为00


00


00后m－r行x1===d1,00


00


00x2===d2,m×(n+1)

前r列后n-r列x===d.

8、nn第二步：往证R(A)=R(A,b)=n⇒⇒⇒唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，即r=n，则d=0且b都不出现.r+