高中数学 3.4.2 基本不等式的应用教案 苏教版必修5.doc

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1、3.4.2　基本不等式的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；(2)进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；(3)审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．2.过程与方法整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行．3．情感、态度与价值观(1)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；(2)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性．●重点、难点重点：对

2、由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值．突破重点的关键是对基本不等式的理解．难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”.(教师用书独具)●教学建议本节课是基本不等式应用举例，是上节基本不等式的证明的延伸．整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行，列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一．要对学生强调，解实际问题时首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．对例题的处理可先由学生思考，然后

3、师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤．提醒学生注意：(1)使用基本不等式的条件是一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小；(2)求最值常用的不等式：a＋b≥2，ab≤()2，a2＋b2≥2ab.●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒(对应学生用书第65页)课标解读1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．(重点)2.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(难点)基本不等式与最值已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；(

4、2)积ab一定时，和a＋b有最小值；(3)取等号的条件(当且仅当a＝b时，＝)．基本不等式的常见变形【问题导思】　若a＞0，b＞0，则ab、()2、的大小关系如何？【提示】　由基本不等式≤，∴ab≤()2(两边平方)，由2ab≤a2＋b2，∴()2＝≤＝，∴ab≤()2≤.1．若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．2．若a>0，b>0则ab≤()2≤，当且仅当a＝b时等号成立．3．若a>0，b>0，则≤≤，当且仅当a＝b时等号成立.(对应学生用书第65页)基本不等式的变形应用　求y＝＋的最大值．【思路

5、探究】　由()2＋()2＝2(定值)，利用基本不等式的变形：≤≤，可求．【自主解答】　由知定义域为x∈[－1,1]．又()2＋()2＝1－x＋1＋x＝2(定值)，∴y＝＋≤＝＝2，当且仅当1－x＝1＋x即x＝0时，等号成立．∴ymax＝2.1．本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式≤.2．对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为xm，y

6、m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？【解】　由题意，x＋y＝＝，设面积和为S，则S＝x2＋y2≥2()2＝2()2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立．∴当x＝y＝m时，Smin＝m2.求字母参数的取值范围　已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．【思路探究】　思路一：将b＝代入消元；思路二：利用基本不等式≤得关于ab的不等式．【自主解答】　法一　由ab＝a＋b＋3，得b＝.由b＞0，得＞0.∵a＞0，∴a＞1.∴ab＝a·＝＝＝(a－1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝

7、3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二　由于a、b为正数，∴a＋b≥2.∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即()2－2－3≥0.∴≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．1．本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不等式的应用．2．利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式．若题中条件不变，如何求a＋b的取值范围．【解】　法一　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝(a＞1)，∴a＋b＝a＋＝a＋＝(a－1)＋＋2≥2×2＋2＝6，当

8、a＝b＝3时等号成立．∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)法二　∵ab≤()2，∴a＋b＋3≤()2即－(a＋b)－3≥0，解之得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，∴a＋b的取值范围是[6，＋∞).利用基本不等式解实际应用题　某商场预计全年分批购入每台价值2000元