欧氏空间标准正交基的几种求法_郭茜.pdf

《欧氏空间标准正交基的几种求法_郭茜.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、应用科技欧氏空间标准正交基的几种求法郭茜（西安汽车科技职业学院，陕西西安710038）[摘要]本文对欧氏空间的Schmidt正交化过程加以分析，给出了几种与该方法不同的欧氏空间标准正交基的求法，其方法思路简洁、算法简单、计算机编程设计简单有效，为在更多情况下计算标准正交基提供了理论依据，增强了实用性。[关键词]标准正交基；正定矩阵；合同变换；初等变换；矩阵变换在Euclid空间中，将一个基化标准正交基在讨论有关问题中占有101特殊的地位，传统的作法是采用Schmidt正交化方法，这种方法的特解：令A=（α1，α2，α）3=姨010姨，则A'=

2、点是逐个扩充，最后得到正交基，这种构造性方法具有层次分明、清-112楚、直观的优点，但整个过程计算量较大，而且对于所求标准正交基与10-12-1-1A'A原基的联系不甚清楚。本文导出其他几种求标准正交基的方法，使所用姨010姨，AA'=姨-122姨则姨姨=A变换种类与次数尽量少，从而使此方法更具有实用性。102-1251合同变换法姨200姨姨200姨姨姨姨姨姨姨姨姨这个方法步骤如下：姨33姨姨3姨姨-1姨姨-10姨姨姨姨姨1）写出基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵A；2）作合同变换，使姨22姨姨2姨姨姨姨姨姨姨姨姨得C'AC=E；3）利用所得的

3、矩阵C根据1）就得到一组标准正交基。姨39姨姨3姨姨-1姨姨-13姨4姨22姨姨2姨222例：在R中，把基ε1=（1，1，0，0），ε2=（1，0，1，0），姨姨姨姨，其中u=2，u=3，u姨姨姨姨123姨13姨姨1姨2ε3=（-1，0，0，1），ε4=（1，-1，-1，1）变成标准正交基。姨1姨姨11姨姨22姨姨2姨姨姨姨姨姨21-10姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨010姨姨01-1姨姨12-10姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨解：基ε1，ε2，ε3，ε4的度量矩阵A=姨姨，对姨13姨姨1姨姨-1-120姨姨姨-1姨姨姨姨-11姨姨姨姨姨22姨姨2姨姨

4、姨姨姨姨0004姨姨1姨姨11姨姨姨A作合同变换姨2姨姨姨姨姨姨姨姨111姨=3，取B=姨01-1姨=（β1，β2，β），显然向量组3β1，β2，β3姨-0姨姨姨姨姨姨姨姨姨2姨6姨12姨姨1姨姨-11姨姨姨姨2姨姨21姨姨姨姨00姨姨姨11姨姨6姨12姨11β1，0，-β2C=姨姨令η=ε=（，为正交向量组，令η1==姨姨'，η2==姨姨11u姨2姨2u姨3姨姨2姨212姨000姨姨姨姨姨12姨121β111姨姨姨，，姨'，η3=，-，姨姨3=姨姨'，姨1姨姨6姨6姨6u3姨3姨3姨3姨000姨姨2姨姨姨则向量组β，β，β为标准正交基。12

5、311211，0，0），η2=-ε1+ε2=（，-，3Givens变换法姨2姨6姨6姨6姨6最后我们来看Givens变换法，该方法对欧氏空间Schmidt正交21131，0），η3=ε1+ε2+ε3=（-，化过程加以分析，将一组向量组成的矩阵A作类似于非奇异矩阵的QR姨6姨12姨12姨12姨12分解，利用正交矩阵可以表示成一系列初等旋转矩阵乘积，仅对A左连11311111，，），η4=ε4=（，-，-，），乘初等旋转矩阵就可得到需要的结果。姨12姨12姨1222222因此，化欧氏空间于空间的一组基为标准正交基的方法可以归纳则η1，η2，η3，

6、η4为所求的一组标准正交基。为：1）由已知一组基α1，α2，…，αm为列向量构成矩阵Am×n；2）对2初等变换法R下面我们给出仅利用初等列变换即可将基向量化为标准正交基的分块矩阵姨姨AE进行左初等旋转变换，化A为姨姨，其中R是m阶上0方法，思路简洁，算法简单，且具有很强的计算机编程实现的特点。三角矩阵，同时E也就化为正交矩阵；3）取正交矩阵P的前m个列向根据以上的分析，对于n维线性空间的基向量组（a1，a2，…，a）n量就是所求的标准正交基。的正交化过程可采用初等列变换的方法：该方法是求欧氏空间子空间的一组标准正交基的新方法，较以往1）构造矩

7、阵A=（a1，a2，…，a），求出对称正定矩阵nA'A。其它的方法更简便，计算量少，易于操作，很有使用价值，下面通过实A'A2）构造矩阵姨姨，并对其进行列的消法变换直至A'A化成例说明本方法的应用。A2n×n姨1姨姨1姨姨-1姨姨姨姨姨姨姨下三角矩阵，则矩阵A同时被化成AP=B，则矩阵B的列向量组β，姨姨姨姨姨姨1姨姨姨姨姨姨姨1姨姨0姨姨0姨β，…，β即为所求的正交向量组。例：求向量组α=姨姨，α=姨姨，α=姨姨所张成的向量空间2n1姨姨2姨姨3姨姨姨0姨姨1姨姨0姨β姨姨姨姨姨姨3）取η=i姨姨，β，…，β即姨0姨姨0姨姨1姨i1，2，…

8、，n，则向量组β12n姨姨姨姨姨姨ui的一组标准正交基。为n维线性空间的标准正交基。解：1）以a1，a2，a3为列向量构成矩阵；例：已知基向量组α1=（1，0，-1