第18讲欧氏空间、正交基.ppt

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1、第四章向量空间第四节欧氏空间本节教学要求：▲了解向量的内积和向量正交的概念。▲知道欧氏空间的概念。▲了解向量空间的正交基的概念。▲能熟练地将向量空间的一般基转换为相应的正交基。一.欧几里得空间二.向量的正交性第四节欧几里得空间一.欧几里得空间例注意例证二.向量的正交性例解规定零向量与任何向量正交。例证例证例证重要啊！例证请翻开书,看P131倒数第4行的定理2及其证明。例解第五节线性变换一、线性变换的定义请点击二、线性变换的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵四、线性变换的特征值与特征向量一、线性变换的定义定义1(1)对任意,V,有T(+)=T()+T()(2)对任意V,及任

2、意实数k，有T(k)=kT()则称T为V的一个线性变换.向量空间V到自身的一个映射，称为V的一个变换。T若T满足：向量在T下的像，记为T()或T.注2：用粗体大写字母T,A，B，C，表示线性变换，它构成一个线性空间，定义变换T：全体的集合，设表示定义在R上次数不超过的多项式例1：故T为的一个线性变换.对注1：定义式中（1），（2）可表示为例2：证：T(+)=(+)A设A为一n阶实矩阵，对任意Rn，令T=A,则T为Rn中的线性变换.=A+A=T+TT(k)=(k)A=k(A)=k(T)故T为Rn中的线性变换.V中两类特殊的线性变换：1.恒等变换

3、EE=,V2.零变换OO=0,V定理1设T是V的一个线性变换，则(1)T把零向量变到零向量，把的负向量变到的像的负向量，即T0=0；T()=T.(2)T保持向量的线性组合关系不变,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.定义2设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合,定义L(V)中的加法，数乘与乘法如下：加法:(T1+T2)=T1+T2;数乘:(kT)=kT乘法:(T1T2)=T1(T2)对V,kR.均为V的线性变换.T1+T2，T1T2，kT可证:

4、若T1,T2均为V的线性变换，则二、线性变换的矩阵T为V的一个线性变换.T=k1T1+k2T2+…+kmTm设V为向量空间,dim(V)=m.1,2,…,m为V的一组基，=k11+k22+…+kmmT1=a111+a212+…+am1mT2=a121+a222+…+am2mTm=a1m1+a2m2+…+ammm……………即(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A其中T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A简记为设（1）（2）…,m下的矩阵.称矩阵A为线性变换T在基1,2,给定V的基1,2,…,m,

5、线性变换T矩阵A定理3设V的线性变换T有(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A向量在基1,2,…,m下的坐标为(x1,x2,…,xm)，T在此基下的坐标为(y1,y2,…,ym),则=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T1+x2T2+…+xmTm=(1,2,…,m)证明：所以例3：设R3的线性变换TT(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)求T在标准基1,2,3下的矩阵.解：T1=T(1,0,0)=(a1

6、1,a21,a31)=a111+a212+a313T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a121+a222+a323T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a232+a333故T在标准基1,2,3下的矩阵为特例：线性变换T=k数量矩阵kE恒等变换T=单位矩阵E零变换T=0零矩阵O定理4三、线性变换在新基下的矩阵1,2,…,m1,2,…,m；设向量空间V有两组基，分别为B=C1AC则证明：）（1,2,…,mB））（1,2,…,m（1,2,…,mC且=T(1,2,…,m)=

7、(1,2,…,m)=(1,2,…,m)AT）(1,2,…,m)=（1,2,…,mBT（1,2,…,mC）T==(1,2,…,m)AC=（1,2,…,m）C1AC.B=C1AC.故定义5设A,B为两n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使B=C1AC,则称方阵A与B相似，记为A~B.性质：(1)A~A(反身性)(2)A~BB~A(对称性)(3)A~B,B~CA~C(传递性)AC1BC=B=(FD)-1C