全国名校高中数学题库 椭圆.pdf

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1、椭圆题库1E、F是椭圆x22y24的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点.（1）当AEAF时，求AEF的面积；y（2）当AB3时，求AFBF的大小；AP（3）求EPF的最大值.MEOFxBmn41解：（1）Smn2m2n28AEF2AEAF4（2）因ABAFBF8，BEBF4则AFBF5.（1）设P(22,t)(t0)tanEPFtan(EPMFPM)32232222t223()(1)，ttt2t2

2、6t6t133当t6时，tanEPFEPF30o3x2y22已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F（－c，0）、F（c，0），Q是12a2b2椭圆外的动点，满足

3、FQ

4、2a.点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线段FQ上，121并且满足PTTF0,

5、TF

6、0.22（1）求点T的轨迹C的方程；（2）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△FMF的面积S=b2.若存在，求∠FMF1212的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解：设点T的坐标为(x,y).当

7、PT

8、0时，点（a，0）和点（－a，

9、0）在轨迹上.当

10、PT

11、0且

12、TF

13、0时，由

14、PT

15、

16、TF

17、0，得PTTF.222又

18、PQ

19、

20、PF

21、，所以T为线段FQ的中点.221在△QFF中，

22、OT

23、

24、FQ

25、a，所以有x2y2a2.1221综上所述，点T的轨迹C的方程是x2y2a2.（2）解：C上存在点M（x,y）使S=b2的充要条件是00x2y2a2,③0012c

26、y

27、b2.20④2由③得

28、y

29、a，由④得

30、y

31、b.所以，当ab2时，存在点M，使S=b2；00cc当b2时，不存在满足条件的点M.ac当b2时，MF(c

32、x,y),MF(cx,y)，ac100200由MFMFx2c2y2a2c2b2，1200MFMF

33、MF

34、

35、MF

36、cosFMF，1212121S

37、MF

38、

39、MF

40、sinFMFb2，得tanFMF2.2121212x23已知椭圆C的方程为y21，双曲线C的左、右焦点分别为C的左、右顶点，1214而C的左、右顶点分别是C的左、右焦点.21（Ⅰ）求双曲线C的方程；2（Ⅱ）若直线l:ykx2与椭圆C及双曲线C都恒有两个不同的交点，且l与C122的两个交点A和B满足OAOB6（其中O为

41、原点），求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为x2y2，则a2413,再由a2b2c2得b21.21a2b2x2故C的方程为y21.23x2（II）将ykx2代入y21得(14k2)x282kx40.4由直线l与椭圆C恒有两个不同的交点得1(82)2k216(14k2)16(4k21)0,11即k2.①4x2将ykx2代入y21得(13k2)x262kx90.3由直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B得213k20,(62k)23

42、6(13k2)36(1k2)0.21即k2且k21.362k9设A(x,y),B(x,y),则xx,xxAABBAB13k2AB13k2由OAOB6得xxyy6,而ABABxxyyxx(kx2)(kx2)ABABABAB(k21)xx2k(xx)2ABAB962k(k21)2k213k213k23k27.3k213k2715k213于是6,即0.解此不等式得3k213k21131k2或k2.③153由①、②、③得1113k2或k

43、21.431513311313故k的取值范围为(1,)(,)(,)(,1)153223154．已知某椭圆的焦点是F（－4，0）、F（4，0），过点F，并垂直于x轴的直线与椭圆122的一个交点为B，且｜FB｜＋｜FB｜＝10．椭圆上不同的两点A（x，y）、C（x，y）121122满足条件：｜FA｜、｜FB｜、｜FC｜成等差数列.222（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.yABCFOFx12B'（1）解：由椭圆定义及条件知2a＝｜FB｜＋

44、｜FB｜＝10，得a＝5.又c＝4，所以b＝a2c2＝3．12x2y2故椭圆方程为＋＝1．2599（2）解：由点B（4，y）在椭圆上，得｜FB｜＝｜y｜＝．B2B5254方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．45425425根据椭圆定义，有｜FA｜＝（－x），｜FC｜