专题-数列求和.doc

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1、专题一数列求和一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.①等差数列求和公式：②等比数列求和公式：（切记：公比含字母时一定要讨论）常见数列求和例设数列的前n项和.练习1.数列的前n项和为，若,则2.（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．解：（1）由已知得解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．（2）由于由（1）得，又是等差数列．故．二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则

2、数列的前项和求解，可用乘公比错位相减法求和。若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令则两式相减并整理即得例求和：练习：1．（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得．小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.2.已知数列{}的前n项和.(1)确定常数k,并求;(2)求数列{}的前n项和.3.设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求

3、数列的前项和．解(I)验证时也满足上式，(II)，①②①-②：，三、裂项求和法形如类型的数列求和，其中为等差数列.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.（1），特别地当时，再如……（2），特别地当时例1.在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：　∵　∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝例2.求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝练习：1求数列的前n项和.2.(2010•山东)已知等差数列满足，，的前n项和为.（1）求及；（2）令求数列的前n项和.3.设数列的前n项和为，

4、点均在函数的图像上.(1)求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项和，求.四倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例：已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.练习：1.求的和．分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1

5、，故采用倒序相加法求和．解：设则．两式相加，得．2．在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质（找特殊性质项）和对数的运算性质得（合并求和）＝＝＝10五、分组求和法形如形式的数列，其中是等差或等比数列或能够转化为能够求和的数列，可采用分组求和法，再合并.例.数列的通项公式练习：求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝六、并项求和法：针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n项和时，可将这些项放在一起先求和.例、已知数列的前n项和，求.解：小结：并项求和法的

6、关键是寻找哪些项合并在一起就具有某种特殊的性质，一旦找到问题就可以顺利的解决.练习：（1）若，为其前n项和，则=，=.(2).