2020数学(文)二轮教师用书：第2部分 专题6 第3讲 导数的综合应用 Word版含解析.pdf

《2020数学(文)二轮教师用书：第2部分 专题6 第3讲 导数的综合应用 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第3讲导数的综合应用利用导数证明不等式(5年3考)[高考解读]利用导数证明不等式是每年高考的热点，主要考查“辅助函数法”证明不等式，难度较大.ax2＋x－1(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝.ex(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.切入点：求函数f(x)的导数．关键点：正确构造函数，转化为函数的最值问题解决．－ax2＋2a－1x＋2[解](1)f′(x)＝，f′(0)＝2.ex因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)证明

2、：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.[教师备选题]1．(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；x－1(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；lnx(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.1[解](1)由题设知，f(

3、x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解x得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.11故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln＜－1，xxx－1即1＜＜x.lnx(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc.c－1lnlnc令g′(x)＝0，解得x＝.0lnc当x＜x时，g′(

4、x)＞0，g(x)单调递增；0当x＞x时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．0c－1由(2)知1＜＜c，故0＜x＜1.lnc0又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；3(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.4a[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，1x＋12ax＋1f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.xx若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f

5、′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．1若a<0，则当x∈0，－时，f′(x)>0；2a1当x∈－，＋∞时，f′(x)<0.2a11故f(x)在0，－上单调递增，在－，＋∞单调递减．2a2a11(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f－2a2a11＝ln－－1－.2a4a3113所以f(x)≤－－2等价于ln－－1－≤－－2，4a2a4a4a11即ln－＋＋1≤0.2a2a设g(

6、x)＝lnx－x＋1，1则g′(x)＝－1.x当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.11从而当a<0时，ln－＋＋1≤0，2a2a3即f(x)≤－－2.4a利用导数证明不等式成立问题的常用方法1直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明fx＜gx，x∈a，b，可以构造函数Fx＝fx－gx，如果F′x

7、＜0，则Fx在a，b上是减函数，同时若Fa≤0，由减函数的定义可知，x∈a，b时，有Fx＜0，即证明了fx＜gx.2将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证fx≥gx在D上成立，只需证明fx≥gx即可.minmax3若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明.1．(求切线方程、不等式证明)已知函数f(x)＝mex－lnx－1.(1)当m＝

8、1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m∈(1，＋∞)，求证：f(x)>1.[解](1)当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，1所以f′(x)＝ex－，x所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－