2020数学(理)二轮教师用书：第2部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、第3讲圆锥曲线中的综合问题求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考)考向1构造不等式求最值或范围[高考解读]以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力.(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的1斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三

2、角形；②求△PQG面积的最大值．1切入点：(1)由k·k＝－求C的方程，并注意x的范围．AMBM2(2)①证明k·k＝－1即可；②建立面积函数，借助不等式求解．PQPGyy1x2y2[解](1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(

3、x

4、≠2)，所以C为中心在坐x＋2x－2242标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点．(2)①设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)．y＝kx，2由x2y2得x＝±.＋＝11＋2k2422记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．1＋2k2kk于是直线QG的斜率为，

5、方程为y＝(x－u)．22ky＝x－u，2由x2y2＋＝1，42得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①u3k2＋2uk3设G(x，y)，则－u和x是方程①的解，故x＝，由此得y＝.GGGG2＋k2G2＋k2uk3－uk2＋k21从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三u3k2＋2k－u2＋k2角形．2ukk2＋1②由①得

6、PQ

7、＝2u1＋k2，

8、PG

9、＝，所以△PQG的面积2＋k218＋k18k1＋k2kS＝

10、PQ

11、

12、PG

13、＝＝.21＋2k22＋k2

14、121＋2＋kk1设t＝k＋，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．k8t因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，1＋2t216最大值为.916因此，△PQG面积的最大值为.9[点评]最值问题一般最终转化为某一个变量的函数，求最值时常用均值不等式，单调性，导数来求，重视一般函数中有分式，高次根式在求最值问题上的应用.[教师备选题]x2y23(2014·全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，a2b2223F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原

15、点．3(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．323切入点：(1)由e＝，k＝可求a，b的值；2AF31(2)设出l的方程，表示出弦长

16、PQ

17、及点O到直线PQ的距离d，由S＝

18、PQ

19、d△OPQ2建立函数关系式，并借助不等式求最值．223c3[解](1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.又＝，所以a＝2，b2＝a2c3a2－c2＝1.x2故E的方程为＋y2＝1.4(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x，y)，Q(x，y)，1122x2将y＝kx－2代

20、入＋y2＝1得4(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，38k±24k2－3即k2>时，x＝.41,24k2＋14k2＋1·4k2－3从而

21、PQ

22、＝k2＋1

23、x－x

24、＝.124k2＋12又点O到直线PQ的距离d＝，k2＋1144k2－3所以△OPQ的面积S＝d

25、PQ

26、＝.△OPQ24k2＋14t4设4k2－3＝t，则t>0，S＝＝.△OPQt2＋44t＋t47因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，t277所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.22基本

27、不等式求最值的5种典型情况分析k2＋1(1)s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)．2k2＋5k2＋12k2＋12(2)s＝≥(基本不等式)．1＋2k2k2＋21＋2k2＋k2＋222n4m2＋1－n2(3)s＝(基本不等式)．4m2＋14k4＋13k2＋9k2(4)s＝＝1＋(先分离参数，再利用基本不等式)．2k2＋34k4＋12k2＋91k＋kk2＋1k1(5)s＝＝(上下同时除以k2，令t＝k＋换元，再119k3k2＋k2＋93k＋k＋33

28、kk利用基本不等式)．x2(长度的最值问题)若F，F分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F，F12512关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，