数系的扩充课件.ppt

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1、第六章数系数系的扩充自然数N扩充原则整数Z有理数Q复数C四元数与八元数实数R数系向无限扩充小结目录为什么要进行数系的扩充？从社会生活的角度来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展。从数学的内部来看，是为了满足计算的需要，数集是在按照某种“规则”不断扩充的。自然数---N自然数是最简单的、因而也是最早发现并使用的“数”。自然数是一切其他数系逐步扩充并得以实现的基础。用公理方法建立自然数理论，应当归功与皮亚诺。数系扩充的原则原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新的

2、性质。例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减法封闭的特性。数系扩充的原则原则二:用旧数系为材料构成一个对象，称之为新数，定义并验证这些新数符合扩张的要求，或者具有新数应具备的性质。例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的要求是满足减法运算的需要，所以整数系是具备这样的性质的。数系扩充的原则原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律，及构成一种“嵌入”。例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。自然数系N整数

3、系Z数环定义:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S，则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。数域定义:设F是一个数环，如果对任意的a,b∈F而且a≠0,则b/a∈F；则称F是一个数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。整数系Z有理数系Q在整数系中，方程不总是能求解的。为此，有必要引入新数---有理数，引入新数后，整数系扩充到了有理数系，根据数系扩充的原则，有理数是以整数作为材料，且获得了对除法封闭的新性质。有理数系Q实数系R·我们虽然经过从Z到Q，大大地扩充了数系但是这决不是

4、就意味着能足以建立各种不同的计算，例如，一元二次方程在Q中没有解，而事实上，是存在的，它表示的正是单位正方形的对角线的长度。·为了满足自然数开方运算的需要，引入了无理数，构成了实数系。实数系R复数系C观察方程，它在R中没有解，为此，我们希望再次扩大数系，使得方程有解。于是我们引入了新的符号，并定义：为了让符号能像普通的实数那样进行加、乘，我们造出形如这样的符号，这里的是任意两个实数，称为复数，称为虚数单位。引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数系。四元数与八元数复数是以和作为基向量的，哈密顿想到，扩充复数时，必须把的形式仍然保留下来，而在实数的后面加上一个三维

5、空间向量形成了新数，这便是四元数。哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向量一一对应，不再区分四元数与向量，如果把四维空间的一个基取成那么任意四元数可以表示为：八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基向量记为：任一个八元数可以写成：要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张，在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于八元数的使用就更罕见了。数系向无限的扩充迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向“无限"进军。这项工作已有两项重要成就。康托尔的超限数超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或

6、序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。罗宾逊的非标准实数系是罗宾逊推出的超实数，即非标准实数系，他的基本思想是将“无限小”和“无限大”作为以外的超实数。总结中学中涉及到的数系的扩充自然数中减法产生了（）（）整数中除法产生了（）（）自然数中开方产生了（）（）负数中开方产生了（）（）负数整数系统分数有理数系统无理数实数系统虚数复数系统谢谢！