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时间：2020-09-07
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1、2牛顿-莱布尼兹公式用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9.1若函数在上连续，，则在上可积，且这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为。且存在原函数证：由定积分定义，任给，要证存在当时，有事实上，对于的任一分割在每个小区间上对使用拉格朗日中值定理，使得：则分别存在因为在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在当且时，有：于是，当时，任取便有，这就证得所以上可积，且有公式成立在注1：在应用牛顿-莱布
2、尼茨公式时，可由积分法求得。注2：定理条件尚可削减，例如：1）对的要求可削减为：在上连续，在内可导，且2）对的要求可削减为：在上可积。这时（2）式仍成立，且由上可积，在（2）式右边当时的极限就是而左边恒为一常数。例1利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：（n为正整数）例2利用定积分求极限：解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这里所取的是等分分割），所以：注：也可以把J看作在上的定积分，同样有：解面积
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