高三数学教案：10.4二项式定理(四).pdf

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1、课题：10．4二项式定理(四)教学目的：1掌握二项式定理和二项式系数的性质，2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：n0n1nrnrrnn（1）(ab)CnaCnabLCnabLCnb(nN)，n1rrn（2）(1x)1CnxLCnxLx.rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab3．求常数项、有理项和系数最大的项时，

2、要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性41二项式系数表（杨辉三角）n(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3⋯时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：n012nr(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，⋯，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,L,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵CnCn）．n直线r是图象的对称轴．2n2（2）增减性与最大值：当n是偶

3、数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项n1n122Cn，Cn取得最大值．（3）各二项式系数和：n1rrn∵(1x)1CnxLCnxLx，n012rn令x1，则2CnCnCnLCnLCn第1页共5页二、讲解范例：23n2n例1．设1x1x1xL1xa0a1xa2xLanx，当a0a1a2Lan254时，求n的值解：令x1得：n23n2(21)a0a1a2Lan222L2254，21n∴2128,n7，nn1点评：对于f(x)a0(xa)a1(xa)Lan，令xa1,即xa1可得各项系数的和a0a1a2Lan的值；令xa1,即xa1，可得奇数项系

4、数和与偶数项和的关系123nn1例2．求证：Cn2Cn3CnLnCnn2．123n证（法一）倒序相加：设SCn2Cn3CnLnCn①nn1n221又∵SnCn(n1)Cn(n2)CnL2CnCn②rnr0n1n1∵CnCn，∴CnCn,CnCn,L，012n由①+②得：2SnCnCnCnLCn，1nn1123nn1∴Sn2n2，即Cn2Cn3CnLnCnn2．2（法二）：左边各组合数的通项为rn!n(n1)!r1rCnrnCn1，r!(nr)!(r1)!(nr)!123n012n1n1∴Cn2Cn3CnLnCnnCn1Cn1Cn2LCn1n2．232n例3

5、．已知：(x3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项n2n解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)2，n又展开式中二项式系数和为2，2nn∴22992，n5．（1）∵n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，第2页共5页2222233226332233∴T3C5(x)(3x)90x，T4C5(x)(3x)270x，2104rr35r2rrr3（2）设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C5(x)(3x)3C5x，rrr1r13C53C579∴r，∴r4，rrr1r1

6、3C53C52222643243即展开式中第5项系数最大，T5C5(x)(3x)405x．n1n12n2n1例4．已知Sn2Cn2Cn2Cn21(nN)，求证：当n为偶数时，S4n1能被64整除n分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn4n1变形，化为含有因数64的多项式n1n12n2n1nn∵Sn2Cn2Cn2LCn21(21)3，n*∴Sn4n134n1，∵n为偶数，∴设n2k（kN），2kk∴Sn4n138k1(81)8k10k1k1k1Ck8Ck8LCk818k10k1k122(Ck8C88LCk)8（），当k=1时，Sn4n10显然能被64整除

7、，当k2时，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，S4n1能被64整除n三、课堂练习：4541．x1x1展开式中x的系数为，各项系数之和为．12233nn2．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)Cn(x1)LCn(x1)（n6）的展开式6中，x的系数为21n3．若二项式(3x)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）32xA.4B.5C.6D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上第3页共5页n2n5．在(1x)的展开式中，奇

8、数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x)等于（）2222A.0B.