线性代数ch2-第9讲.doc

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1、第9讲教学目的要求：掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵的性质。主要内容：矩阵的初等变换与初等矩阵。重点难点：矩阵的初等变换。教学手段：多媒体教学（电子教案及粉笔、黑板的有机结合）教学时数：2学时第二章矩阵及其运算§2.6矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵定义2.16对矩阵施行的以下三种变换（1）互换矩阵的某两行（列）（2）用一非零数乘以矩阵的某一行（列）（3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍加到另一行（列）对应元素上称为矩阵的初等行（列）变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2.17对单位矩阵E施行一

2、次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。7初等矩阵有以下三种类型：（1）互换n阶单位矩阵的第i，j两行(列）所得到的矩阵。将其记为，即（2）用非零数k乘以n阶单位矩阵的第i行（列）所得到的矩阵。将其记为，即（3）将n阶单位矩阵7的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)所得到的矩阵。将其记为，即容易验证，初等矩阵具有以下性质：（1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵。（2）初等矩阵均是可逆矩阵。（3）初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且，，定理2.2设是m×n矩阵，则（1）对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵

3、;（2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵;定理2.3任意一个矩阵都可经过有限次初等变换化为形如7[r≤min(m,n)]的矩阵。称此矩阵为矩阵A的等价标准型。推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形为单位矩阵。定理2.4n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。推论2对任意矩阵A，存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵，使得=由于初等矩阵都是可逆矩阵，上式又可写为二、用初等变换求矩阵的逆设A可逆，则其逆也可逆，根据定理1.6，存在初等矩阵，使构造分块矩阵则=7=（2.3）根据定理2.2，

4、在一个矩阵的左边乘以一个初等矩阵相当于对该矩阵施行一次初等行变换。因此，（2.3）式相当于：对分块矩阵作一系列的初等行变换，当子块A化为E时，E化为。由此我们得到了一个求逆矩阵的简便方法，具体步骤如下：（1）构造n×2n矩阵（2）对连续施行初等行变换，直至左边子块A化为单位矩阵E，此时右边子块即为。即初等行变换例1求矩阵的逆矩阵解7所以注意：在用初等行变换求A的逆矩阵的过程中，必须始终用行变换，其间不能用任何列变换。最后，我们介绍一种求解矩阵方程AX=B的方法：设A为n阶可逆方阵，B为n×m矩阵，在方程AX=B的两边左乘，得由于

5、A可逆，根据定理1.6，存在初等矩阵，使得构造分块矩阵则===由此我们得到求的方法：若A可逆，构造分块矩阵，对作初等行变换，当左边子块A化为E时，右边子块即为.7例2设矩阵，求X，使AX+B=X.解由AX+B=X，得X-AX=B,即（E-A）X=B因为，且所以E-A可逆，由此解得所以.7