【第8章】维纳滤波和卡尔曼滤波ppt课件.ppt

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1、第八章维纳滤波器和卡尔曼滤波器随机信号或随机过程(randomprocess)是普遍存在的，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化.通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声，噪声按功率谱密度划分可以分为白噪声(whitenoise)和色噪声(colornoise).均值为0的白噪声叫纯随机信号(purerandomsignal).任何随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号.8.1基本概念干扰(interference)和噪声(noise)是两个不同的概念，非

2、目标信号(nonobjectivesignal)都可叫干扰.干扰可以是确定信号(如50Hz工频干扰)，也可以是噪声.信号和干扰以及随机噪声同时输入滤波器时，如何在输出端将信号尽可能精确地表现出来被看成是一种估计问题或者线性预测问题.维纳滤波和卡尔曼滤波(WienerandKalmanFiltering)就是用来解决这样一类问题的方法.设有一线性系统h(n)，当输入一个观测到的随机信号(简称观测值)，且该信号包含噪声和有用信号(简称信号).即则输出为希望输出的y(n)与有用信号s(n)尽量接近，称为s(n)的估计值.维

3、纳滤波器的系统框图如图示.这个系统的h(n)也称为对于有用信号s(n)的一种估计器.如果系统是因果系统，则输出y(n)可以看成是由当前时刻的观测值x(n)和过去时刻的观测值x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)…确定的估计值.用当前时刻和过去时刻的观测值来估计当前的信号y(n)=s^(n)称为滤波.用过去时刻的观测值来估计当前的或将来的信号y(n)=s^(n+N)称为预测.用过去时刻的观测值来估计过去的信号y(n)=s^(n-N)称为平滑或者内插.从系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号可能不完全相同，用e

4、(n)来表示真值和估计值之间的误差:显然e(n)是随机变量.维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则都是最小均方误差准则：维纳滤波和卡尔曼滤波在平稳条件的稳态结果是一致的，但是它们解决问题的方法不同.维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数或单位脉冲响应.卡尔曼滤波是根据当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值.设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应或传递函数.设计工作的实质就是解维纳－霍夫(W-H)方程.可以从时域入手

5、求最小均方误差下的h(n)，用hopt(n)表示最佳线性滤波器.我们只讨论因果可实现滤波器的设计.8.2维纳滤波器的时域解8.2.1因果维纳滤波器设h(n)是物理可实现系统，则要使得E[e2(n)]最小，可将上式对各h(m)，m=0,1,…,求偏导，并且令其等于零，得即用相关函数R来表达上式，则得到W－H方程：从W－H方程中解出的hopt(n)就是最小均方误差下的最佳h(n).这时的均方误差为最小：进一步化简得：如何去求解W－H方程，即求hopt(n).设h(n)是一个因果序列，且可以用有限长(N点)的序列去逼近它，

6、则8.2.2有限脉冲响应法求解W－H方程于是得到N个线性方程：写成矩阵形式：简化形式：式中：是待求的单位脉冲响应.是互相关序列.是自相关矩阵.求得hopt(n)后，这时的均方误差为最小：只要Rxx是非奇异的，就可以求得化简得：用有限长的h(n)来实现维纳滤波时，当已知观测值的自相关和观测值与信号的互相关时就可以按照下式在时域里求解hopt(n).当N比较大时，计算量很大，并且涉及到求自相关矩阵的逆矩阵问题.则有若信号s(n)与噪声w(n)互不相关，即所以【例题】w(n)是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤

7、波器来估计s(n)，并求最小均方误差.已知图中x(n)=s(n)+w(n)，且s(n)与w(n)统计独立，其中s(n)的自相关序列为:所以解得解：依题意，信号的自相关和噪声的自相关为：最小均方误差：随机信号都可以看成是由白色噪声w1(n)激励一个物理可实现系统的响应，如图所示.8.2.3预白化法求解W－H方程白噪声自相关函数:它的ZT等于:输出信号自相关函数:根据卷积性质有:令l=r-k，则令则对上式进行ZT得到系统函数和相关函数的ZT之间的关系：同样有：利用卷积性质可以找到互相关函数之间的关系：两边ZT得到：如果已

8、知观测信号的自相关函数，求它的ZT，然后找到该函数的成对零极点，取其中在单位圆内的那一半零点极点构成B(z)，另外在单位圆外的零极点构成B(z-1)，这样就保证系统是因果最小相位系统.由于由于系统函数的零点和极点都在单位圆内，所以系统是一个物理可实现的最小相位系统.1/B(z)也是一个物理可实现的最小相移网络函数.我们就可以对x(n)进行白化，