二面角与平面和平面的垂直关系（一）.ppt

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1、二面角与平面和平面的垂直关系(一)1二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（1）半平面——（2）二面角——llllαlαl按此继续lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的认识等角定理—空间中若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。复习回顾：αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。或：过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线

2、，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。αβB。OAB1。O1A1②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。B。OA（注）αβB。OA按此继续由左侧进入下一环节注意二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOABAOB二面角的平面角1、定义法根据定义作出来2、垂面法作与棱垂直的平面与

3、两半平面的交线得到lγABO12lOABAOlD3、三垂线定理法借助三垂线定理或其逆定理作出来二面角的平面角的作法(6)二面角的范围[0。,180。]（7）直二面角——平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB下一页小结：求二面角大小的步骤为：（1）找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义垂直于棱；（3）计算.AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过A作AD⊥l于D，连OD则由三垂线定理得AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就

4、是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③17AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4；求二面角－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD18非特殊角§1.15两个平面垂直的判定问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂

5、直？如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。已知：AB⊥β，AB∩β=B，ABα求证：α⊥β.∪证明：αβCDABE在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，设α∩β=CD,则B∈CD.∪∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD.∪∵AB⊥β，BEβ，∴AB⊥BE.∴二面角α--CD--β是直二面角，∴α⊥β.两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于

6、平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）√1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一三、如右图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACB

7、E归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：①定义法②根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.