气体动力学讲义吴子牛特征线理论ppt课件.ppt

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1、特征线理论基础气体力学、空气动力学及计算流体力学主干与重点基础内容重要性数学物理方法MethodofMathematicalPhysics运输方程特性考虑运输方程对于给定的初始条件，其任一时刻的解为解在信息传播线上的导数在信息传播线上取线段（），看是否根据该线段两端的解的微分确定解的导数。如果能，那么信息传播线附近区域的解可以通过泰勒展开求得。导数满足的方程为以上方程如果有解，那么导数便能由信息传播线上的解唯一确定。导数表达式直接求解得信息传播线上的导数以上代数方程组有解的充要条件是而在信息传播线上，因此。从而代数方程组无解，即导数不存在，亦即无法通过泰勒展开由一条独立的信息传播线上的解

2、获得附近的解。无粘伯格斯方程特性考虑无粘伯格斯方程对于给定的初始条件，其任一时刻的解为解在信息传播线上的导数在信息传播线上取线段（），看是否根据该线段两端的解的微分确定解的导数。如果能，那么信息传播线附近区域的解可以通过泰勒展开求得。导数满足的方程为以上方程如果有解，那么导数便能由信息传播线上的解唯一确定。导数表达式直接求解得信息传播线上的导数以上代数方程组有解的充要条件是而在信息传播线上，因此。从而代数方程组无解，即导数不存在，亦即无法通过泰勒展开由一条独立的信息传播线上的解获得附近的解。结论信息沿信息线传播由一条独立的信息线无法确定解的（尤其是法向的）导数，从而不能通过泰勒展开由信息

3、线上的解确定附近区域的解定义：信息传播线称为特征线，即特征线是流场中任一点上信息沿之传播的曲线。特征线的斜率称为特征值(运输方程和伯格斯方程的特征值分别为a和u）特征线周边区域的解不能由特征线上的解求出知道特征线上一点（如）的解，在特征线上其它点上的解便可以确定（例如，对于运输方程）。系统方程的情形设系统方程为在任一点，假设特征线的斜率为，即特征线方程为特征线上的微分关系式构造方程组特征值类似前面分析，特征线斜率（特征值）满足方程对于含有m个分量的方程组，有m个特征值，即m条特征线。相容关系式沿特征线的导数定义为对每个，左特征向量由下式确定注意，左特征向量各分量对应书中相容关系式将左特征

4、向量乘以得以上即为相容关系式，也称为特征线形式的方程，对于每个特征值，都有一个（这样的标量）相容关系式，属于常微分方程。因此，沿特征线方向的变化可以通过求常微分方程得出相容关系式的作用沿每条特征线，都有一个相容关系式。每个相容关系式定义了一个组合量沿特征线的变化。往往该组合量沿特征线为常数（称为不变量，对于气体动力学方程，称为黎曼不变量）。思考题对每个特征值，由知讨论与相容关系式有何联系？书上说，二者是等价的，是否真的等价?等价性?对每个,只有一个相容关系式对每个，有m个分子行列式为0（由，独立的只有m-1个）。对标量方程(m=1)的等价性对于标量方程,相容关系式简化为对于标量方程，有对

5、两方程(m=2)的等价性讨论相容关系式对于2方程系统，有一般系统方程对于m阶系统方程，总共只有m个相容关系式，但有个分子行列式（因为有m个特征值，而对每个特征值，有m个分量），由m个分母行列式为0使得独立的分子行列式为0的个数为。因此，如果m>2,即，二者就不应该等价。但我们能证明，针对有三个方程的气体动力学方程是等价的。特征线法的作用：工程问题在非特征线曲线L上给定初始条件,求曲线外任一点P上的值。对于有m个分量的系统，必有过P点的m条特征线与曲线L上的m个点相连。由于沿每条特征线都有一个相容关系式将P点和曲线L上的一个不变量相关联，所以可以确定m个这样的不变量，从而唯一确定P点所有的

6、流动参数。特征线法的作用：CFD特征线理论在非线性偏微分方程领域和计算流体力学领域有重要应用价值，构成了现代计算流体力学的基础。通过特征线理论，可以把复杂的线性和非线性扰动传播分解成一些简单的可以描述的基本解的叠加与相互干扰。由此构造的计算方法物理意义明显并且具有良好的特性。高维问题特征线理论在一维情况下，特征线为为曲线；在二维情况下应该为曲面即特征面；三维情况下为特征体。有时考虑一些特征面或特征体上的特殊曲线，作为特征线。有时将问题投影到各方向（如x,y,或z），把被投影方向作为一维问题考虑。二维问题特征面基本方程在特征面上，由相距(dx,dy)的两点的解所定义的微分dw定义偏导数，因

7、此偏导数所满足的方程为二维问题特征面续考虑特征面上的相互正交的曲线，满足方程于是有二维问题特征面续下面看在什么情况下导数不存在，将前面方程写为补充条件要求两条特征线相互正交要求其中一条（设第一条，称主特征线）特征曲线所对应的信息传播速度最大，即求特征值的数学问题求满足下面关系式的如何求上述特征值问题？对自己数学水平进行估计，如能求解则自己求。如果能转换成机器软件能处理的问题，则使用软件求。如果别无办法，与数学家联手。如果与数学家联手