高考数学数列压轴题方法技巧.doc

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1、高考数学压轴题专题一—数列型不等式的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1设Sn=1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1).求证n(n+1)(n+1)2

2、⋯,n.解析此数列的通项为ak∵k(n+1)2若放成k(k+1)

3、其中，n=2,3等的各式及其变式公式均可供选用。11+a⋅2bx，若f(1)=45，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，2例2已知函数f(x)=求证：f(1)+f(2)+⋯+f(n)>n+n+1−1.（02年全国联赛山东预赛题）1224x111简析f(x)==1−>1−(x≠0)⇒f(1)+⋯+f(n)>(1−)1+4x1+4x2•2x2×2+(1−12)+⋯+(1−1n)=n−1(1+1+⋯+1n−1)=n+2n+1−1.12×22×24222n−1例3求证Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn>n⋅

4、22(n>1,n∈N).简析不等式左边Cn1+Cn2+Cn+⋯+Cn3nn=2−1=1+2+22+⋯+2n−1n−1>n⋅n1⋅2⋅22⋅⋯⋅2n−1=n⋅22．利用有用结论2，故原结论成立.例4求证(1+1)(1+)(1+1)⋯(1+11)>2n+1.32n−1简析本题可以利用的有用结论主要有：5法1利用假分数的一个性质bab+m(b>a>0,m>0)可得a+m>2462n3⋅5⋅7⋯2n+113⋅5⋯2n−1⋅(2n+1)2n⋅⋅⋯>=⋅1352n−12462n24624⋅6⋯2n>2n+1即(1

5、+1)(1+1)(1+1)⋯(1+1⇒(⋅)2)>2n+1.1352n−1352n−1法2利用贝努利不等式(1+x)n>1+nx(n∈N∗,n≥2,x>−1,x≠0)的一个特例1 111(此处n=2,x=)得(1+)2>1+2⋅2k−12k−12k−112k+1⇒∏(1+n1n2k+1=2n+1.1+>)=∏2k−12k−12k−12k−1k=1k=1注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

6、证明(1+1)(1+1)(1+1)⋯(1+13n+1.(可考虑用贝努利不等式n=3的特例))>3473n−2例5已知函数f(x)=lg1+2x+3x+⋯+(n−1)x+a⋅nx,02f(x)(x≠0)对任意n∈N∗且n≥2恒成立。（90年全国卷压轴题）简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）n不等式[(aibi)]2≤ai2bi2的简捷证法：nn∑∑i=1i=1∑i=1f(2x)>2f(x)⇔lg1+22x+32

7、x+⋯+(n−1)2x+a⋅n2x>2lg1+2x+3x+⋯+(n−1)x+a⋅nxnn⇔[1+2x+3x+⋯+(n−1)x+a⋅nxx]2

8、n≥2(n≥2)；例6已知a1=1,an+1=(1+n2+n2(II)对ln(1+x)0都成立，证明a0）的结构特征，可1+21n)an⇒lnan+1≤ln(1+n1+1n)+lnan⇒2得放缩思路：an+1≤(1+n2+n2+n1111≤lnan++n。于是lnan+1−lnan≤+n，n2+n2n2+n21−(1