1993年全国初中数学联赛试题解答.doc

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1、1993年全国初中数学联赛试题解答第一试一．选择题1．（A）∵，∴余式为1.2．（B）命题I正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等.由，知BCE=CEA，于是BC=EA.∴.同理可证.故ABCDE是正五边形.命题II不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°,，，但，显然，ABCD满足命题II条件，但不是正四边形.3．（D）因为、分别表示数轴上点x到点1和点-1的距离.因此，当-1≤x≤1时，；当时，；当时，.而在-1与1之间无穷多个实数x，

2、故有无穷多个x使y取到最小值.4．（C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得，，，，∵，∴，，，.于是有.5．（A）注意到..于是原不等式的整数解是介于-1与6之间且不等于1,2的整数.即0,3,4,5四个整数.6．（A）设的三条高线AD、BE、CF相交于点O.因为钝角三角形，故其垂心O在的外部（如图）.∵B、D、F、O四点共圆，故.又由题设，知≌，∴，于是.而，∴.7．（C）如图，设O是的外心，，，∴.同理，.∴.8．（D）原式二、填空题1．4.，∴当x=-1时，公式取最小值4.2．7.设从

3、左到右小盒里的球数为7,a2,a3,…,a1993,∵，，∴.同理.3．.设，原方程变为.设此方程有根，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，∴，故.由韦达定理，得，，于是，∴.4．3如图，BC为圆的直径，，∴.又∽，∴.由此可知.因而四边形DBCE面积.∴.第二试一、解法1不妨设角A是锐角，连接AH并延长交BC于D点.延长BH、CH分别交AC于E，交AB于F，如图.∵,∴.因此∽∴.又,∴.于是.当∠A≥90°时，同理可证上式也成立，由于BC是不变的，所以当A点至BC的距

4、离变小时，乘积保持不变.解法2作图如解法1，再延长AD至G，使DG=DH，并分别连接BG，GC.由ΔHBD≌ΔGBD知，.因而，A,B,G,C四点共圆.由相交弦定理，得.因此，.由于BC是不变的.所以当点A至BC的距离变小时，乘积保持不变.二、由于，知ΔABC是直角三角形.如图.，设，，由于，，知：xy=78.由余弦定理知：≥12，当x=y时，上式的等号成立，此时，达到最小值.三、（1）假如,同由，知，对于已知两个方程用韦达定理得，这与已知，矛盾.因此，.同理，.（2）由韦达定理及，，有≥0,c

5、≥b-1.对于方程进得同样讨论，得b≥c-1.综合以上结果，有b-1≤c≤b+1.（3）根据（2）的结果可分下列情况讨论：（I）当c=b+1时，由韦达定理有从而.由于x1,x2都是负整数，故或由此算出，.经检验，符合题意.（II）当c=b时，有，从而.因此.故.经检验符合题意.（III）当时，对方程作（I）类似讨论，得，.综上所述得三组值：