离散型随机变量及其概率分布PPT课件.ppt

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1、§2.3离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性质离散型随机变量的概念非负性规范性F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度pk离散型随机变量的分布函数例1设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令X表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X的概率分布与p=0.4时的分布函数。出发地目的

2、地解•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例2在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：解或或或此式应理解为极限对离散型随机变量用概率分布比用分布函数计算这些概率更方便或或例3一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p(0

3、。求所需轰击次数X的概率分布。解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k次击中目标)注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当归纳地令(1)0–1分布X=xk10Pkp1-p0

4、为n,p的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•二项分

5、布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数当(n+1)p=整数时，在k=[(n+1)p]与[(n+1)p]–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布；固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称当(n+1)p整数时，在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值例4独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于2次的概率.(2)令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)解(1)k=[(n+1)p]=[(5000+

6、1)0.001]=5问题如何计算？本例启示小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.由此可见日常生活中“提高警惕,防火防盗”的重要性.由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，毫不奇怪.同样，人生中发生车祸、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是十分正常的,大可不必怨天尤人，更不要想不开而跳楼自杀.Possion定理则对固定的k设Poisson定理说明：若X~B(n,p),则当n较大，p较小，而适中，则可以用近似公式证记类似地，从装有a个白球，b个红球的袋中不放回地任取n个球

7、，其中恰有k个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布解令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)令此结果也可直接查P.378附表2Poisson分布表得到，它与用二项分布算得的结果仅相差千分之二点四.利用Poisson定理再求例4(2)例5某厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱，若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品，则每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少应装100+n个，每箱的不合格品个数为X，则X~B(100+n,

8、0.03)应用Poisson定理由题意3(100+n)0.03=3+0.03n取=3查Poisson分布表=3一栏得n+1=6,n=5所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求.在实际计算中，当n20,p0.05时，可用上述公式近似计算；而当n100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.