数系的扩充和复数的相关概念课件.ppt

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1、3．1　数系的扩充和复数的概念3．1.1　数系的扩充和复数的相关概念1．了解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念．3．理解复数相等的充要条件．4．了解“虚数不能比较大小”的确切含义．5．了解复数的代数表示法．1．虚数单位i.(1)它的平方等于－1，即.(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．2．复数的代数形式．(1)形如(a，b∈R)的数叫做复数，a＋bi叫做复数的代数形式，a和b分别叫做复数z的和．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类．i2＝－

2、1z＝a＋bi实部虚部3．复数相等的充要条件．复数a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，且b＝d(把复数问题化归为实数问题)．注意：①根据复数相等的定义，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不相等，则a＋bi≠c＋di.②若两个复数全是实数，则可以比较大小．反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数(如a＋bi＞0⇔)．③若两个数不全是实数，则不能比较大小．1．虚数单位i及其性质为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，它的平方等于－1，它可以与实数进行四则

3、运算．2．复数的代数形式和复数的分类(1)复数的代数形式z＝a＋bi要求a和b必须是实数，否则不是代数形式．(2)若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如z＝bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0，b∈R时，才是纯虚数，否则不是纯虚数．3．复数相等的概念(1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等，它是把复数问题转化为实数问题的主要手段．(2)应用复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两边的复数

4、形式写成代数形式，即分离实部和虚部，然后列出方程求解．复数的基本概念若z1、z2为复数，则下列结论中正确的是(　　)A．若z1＋z2＞0，则z1＞－z2跟踪训练1．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是(　　)A．①B．②C．③D．④解析：①a＝－1时，(a＋1)i是实数；②中两个虚数不能比较大小；③中x＝－1时，虚部为0.答案：D复数的分类m取何实数

5、时，复数z＝(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?＋(m2－2m－15)i，点评：①研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数，首先保证复数的实部和虚部有意义．本题分母不为零的条件容易忽略．②纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周．③本题“或”和“且”等逻辑用语的使用会模糊应重点分析．跟踪训练2．实数a为何值时，复数z＝＋(a2－5a－6)i(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?复数相等的充要条件已知集合M＝{－1,4，(m2－3m－1)＋(m2－16)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{3}，求实数m的

6、值．解析：∵M∩N＝{3}，得(m2－3m－1)＋(m2－16)i＝3，由复数相等的充要条件，得∴m＝4点评：利用复数相等的充要条件，把复数问题化归为实数问题是解复数问题常用的办法．跟踪训练3．已知实数x，纯虚数y满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y的值．复数全是实数时可比较大小如果m2－(m2－3m)i＜4，求实数m的取值范围．解析：当两个复数全是实数时，才能比较它们的大小．∴m＝0.点评：(1)挖掘题目的隐含条件——两个复数能比较大小，则两个数都是实数．(2)两个复数能比较大小，只需比较它们的实部

7、的大小即可．4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，求a的取值范围．跟踪训练1．虚数单位i具有两条性质：(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．2．关于复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下几点：(1)a，b∈R，否则不是代数形式．(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b

8、∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．关于这一点的理解要注意以下几点：(1)根据复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.(2)如果两个复数都是实数，可以