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1、高三文科数学元旦练习一31．在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C.4（1）求sinC；（2）当c2a，且b37时，求a.2327解：（1）由已知可得12sinC.所以sinC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分4814因为在ABC中，sinC0，所以sinC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4114（2）因为c2a，所以sinAsinC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分28252因为ABC是锐角三角形，所以cosC，cosA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分48所以142521437sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.11分8
2、484837a由正弦定理可得：，所以a14.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分sinBsinA说明:用余弦定理也同样给分.2．（本题满分14分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AF//DE，DE3AF.(1)求证：AC平面BDE；E（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论.解.(1)证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因为ABCD是正方形，所以ACBD，因为DEBDD⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分FDC从而AC平面BDE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）当M是BD的一
3、个三等分点，即3BM＝BD时，AM∥平面BEF．⋯⋯⋯⋯7分AB取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，故四边形AMNF是平行四边形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以AM∥FN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以AM∥平面BEF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分22xy3.如图，已知椭圆C:1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右1612准线，N为l上一
4、动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．解：（1）由已知，A(4,0),B(4,0),F(2,0)，直线l的方程为x8．t设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（4，）．2由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．⋯⋯⋯⋯⋯4分uuuruuuruuuruuur所以MA(6,3),MB(2,3)，MAMB1293．uuuruuurMAMB365cosAMBuuu
5、ruuur．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
6、MA
7、
8、MB
9、3694965（用余弦定理也可求得）22（2）设圆的方程为xyDxEyF0，将A，F，N三点坐标代入，得D2,164DF0,7242DF0,Et,t264t8DEtF0,F8.2272∵圆方程为xy2x(t)y80，令x0，得t272y(t)y80．⋯11分t72722t(t）32tt设P(0,y1),Q(0,y2)，则y1、2．272由线段PQ的中点坐标为（0，9），得y1y218，t18．t22此时所求圆的方程为xy2x18y80．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分（本题用韦达定理
10、也可解）（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分易求得圆的半径为310，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分22所以，所求圆的方程为（x1)(y9)90．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分高三文科数学元旦练习二22xy11.已知椭圆E：84的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线
11、FG被圆C所截得的弦长；GF1（3）在平面上是否存在一点P，使得GP2？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.22xy1解（1）由椭圆E：84，得l：x4，C(4,0)，F(2,0)，22(x4)y16又圆C过原点，所以圆C的方程为．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分22（2）由题意，得G(3,yG)，代入(x4)y16，得yG15，y15(x2)所以FG的斜率为k15，FG的方程为，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）15152d216()7所以C(4,0)到FG的距离为2，直线FG被圆C截得弦长为2
12、．故直线FG被圆C截得弦长为7．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分22(x02)y01GF1()2()22（3）设P(s,t)，G(x0,y0)，则由GP2，得x0sy0t，22223(x0y0)(162s)x02ty016st0整理得①，⋯⋯⋯
