最新数列通项公式的完整求法,还有例题详解教学教材教学提纲.doc

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1、一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。二、公式法：当已知条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式：a＝来求数列的通项公式。例1：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(

2、1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例2.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)解析：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列，∴，，∴，故选(D)。例3.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列

3、，，∴点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例4:已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.例5：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。解：a=a-3,a=6s＝a－3（nN）①s＝a－3(n2且nN)②①－②得：a＝a－aa＝a，即＝3(n2且nN)数列是以a=6，公比q为3的等比数列.a＝aq＝6

4、3＝23。例6：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。解s＝（a+），a=(a+)a=1又a＝s－s(n2且nN)s＝（s－s＋）2s＝s－s＋s＋s＝s－s＝1(n2且nN)数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，当n2时，s－s＝a＝－将n＝1代入上式得a＝－练习：数列前n项和为，已知＝5－3（）,求三.累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。（其中f(n)能求前n项和即可）利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）

5、.例1.已知数列中，,求这个数列的通项公式。分析：由已知，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列中，，可得：以上各式相加，将n＝1代入上式得练习：已知数列中，，求例2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知∵……各式相加得∴点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。例3.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=例4已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式

6、变形为.跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.3.累乘法：求形如=的递推数列通项公式的基本方法。（其中可求前n项积即可）。利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例1.若满足求这个数列的通项公式。分析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：以上各式相乘得：将n＝1代入上式得变式练习：设是首项为1的正数组成的数列，且，则它的通项公式为　　　　．例2：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以例3已知数列中，，前项和与的关

7、系是，试求通项公式。解析：首先由易求的递推公式：将上面n—1个等式相乘得：点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。例四已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.4.构造新数列：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例题5：已知数列中