有限元与边界元(下).doc

《有限元与边界元(下).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二部分边界单元法第一章边界元法数学基础1.1狄拉克δ函数在物理现象中我们用到的质点，点电荷等物理概念。如质点，为质量集中的点，其体积趋于零，故它的密度（质量/体积）趋与无穷大，但它的密度的体积分（总质量）却是个常数，所以可以任意选择该常数为1。于是得一个单位质点；在电学中的点电荷也有相似的特征，即其体积趋于零，故它的电荷密度g（电量/体积）趋于无穷大，但它的电荷密度的体积分也是一个常数，也取为1。于是得到一个单位点电荷。为了描述这一类抽象概念。在数学上引入了一个δ函数，定义δ函数如下：设及是区域内的任意两点，是一个固定点。如果（1.1.1）(1.1.2

2、)则称为函数。可以把视为质点或点电荷的位置坐标，那么函数反映了上述物理现象。对于二维、三维函数可以写成下列形式：二维三维由上述定义式（1.1.1）和(1.1.2)可推出今后我们要用到的几个重要性质。1、当p在域的边界上，且P处的边界光滑时，则(1.1.3)证明：对于二维情况，域为一平面，如图1.1.1设P位于域的边界上，我们以P为圆心，在内作一半径无限小的半圆（因P外边界光滑，故内，是半圆）。由（1.1.1）式，在以外都为0，故P由(1.1.2)式，因为为半圆，故2、设函数u在P点处连续，当P在域内时，则(1.1.4)式中u(p)为P处的函数值。证明：以

3、P为圆心，在内作一半径无限小的区域包围P点，则由(1.1.1)式有图1.1.1P点位于边界上因为为无限小，且u为连续函数，故可用P点的函数值u(p)代替域中的函数值，并移至积分号外。根据函数的定义式(1.1.2),有3、设函数u在P点处连续，当P在的边上，且P处边界光滑，则(1.1.5)将性质1、性质2结合起来，很容易证得性质3。1.2格林公式如果u和在区域上连续且一阶连续可微，在区域内二阶连续可微，则下述格林第二公式成立(1.2.1)式中为区域的边界（对于三维区域，为边界面；二维区域，为边界线）；n为边界的外法向。证明：由哈密顿算子的运算规则有由区域积

4、分与边界积分的关系有而两式相减，得1.3基本解基本解定义：微分算子L对函数u进行某种微分运算，构成或一个微分方程：L(u)=0(1.3.1)若某函数经过L的微分运算，得到一个函数，即(1.3.2)则称为L(u)=0微分方程的基本解。微分方程的基本解不是唯一的。例如，如果是(1.3.1)式的任意解，而是式(1.3.1)的基本解，则也就是说也是(1.3.1)的基本解。下面给出常用的几种微分方程的基本解，它们在处理许多地球物理勘探问题时，是非常有用的。1、三维拉普拉斯方程的基本解三维拉普拉斯方程(1.3.3)其中是三维哈密顿算子，它的基本解为(1.3.4)其中

5、r是三维区域中某点P至中任意点的距离（图1.3.1）。证明：当时，将直接带入球坐标中的表达式：=0得当r=0时，奇异，上式不成立。我们作一个半径无限小的球面包围P点，的积分为：根据区域积分与边界积分的关系有图1.3.1三维区域示意图式中。（由于在域中）。可见(1.3.5)即是三维拉普拉斯方程的基本解。2、二维拉普拉斯方程的基本解是(1.3.6)证明当时，将直接带入极坐标中的表达式：得当r=0时，奇异。上式不成立，我们作一个半径无限小的圆包围p点，的积分为根据区域积分和边界积分的关系有：可见即是二维拉普拉斯方程的基本解。3、二维赫姆霍兹方程的基本解二维赫姆

6、霍兹方程为(1.3.7)它的基本解分别为(1.3.8)(1.3.9)其中为正实数；为(1.3.7)式取“+”号十的基本解；为(1.3.7)式取：“-”号时的基本解；是第二来零阶贝塞尔函数；是第二类零阶修正贝塞尔函数。4、三维赫姆霍兹方程的基本解是(1.3.10)1.4高斯积分法考虑区间[-1,1]上的求积公式:(1.4.1)由勒让德多项式的理论可知,n阶勒让德多项式(1.4.2)是[-1,1]上的正交多项式,它在[-1,1]内有n个根,取它们为(1.4.1)的求积节点.则(1.4.1)称为高斯——勒让德求积公式,并且可以推出高斯——勒让德求积系数(1.4

7、.3)为了便于计算,在数值积分理论中已计算出各阶勒让德多项式的根及求积系数,列于下表中。高斯—勒让德求积公式的节点和系数表nn102±0.0.2±0.1±0.0.3±0.0.7±0.0.00.±0.0.4±0.0.±0.0.±0.0.00.5±0.0.8±0.0.±0.0.±0.0.00.±0.0.6±0.0.±0.0.对于一般的积分只须作代换(1.4.4)当时有。于是有(1.4.5)这样，对上式右端的积分就可以应用高斯—勒让德求积公式了。高斯—勒让德求积公式可以推广到二维、三维的情形中，为此，把二重积分，再用一维高斯—勒让德求积公式(1.4.1)即有于

8、是得二维高斯—勒让德求积公式如下(1.4.6)对于一般形式(1.4.7)其中类似