晶格振动33ppt讲课教案.ppt

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1、晶格振动33ppt固体热容的实验定律：高温下的杜隆—珀替（Dulong-Petit）定律和低温下的德拜（Debye）定律。杜隆—珀替定律：对确定的材料，高温下的热容为常数，摩尔热容为3R，R=8.314510±0.000070J/(mol·K)。德拜定律：低温下的固体热容与T3成正比。图3-19　硅、锗的热容与温度的关系设单位质量的晶体中有NS个原子，则其自由度数为3NS。晶体中的格波可归结为3NS个相互独立的简谐振子。根据经典理论的能量均分定理，每个简谐振子的平均能量为kBT(kB为玻耳兹曼常数)，

2、因而总晶格振动能为：U＝3NSkBT相应的热容为：CV＝3NSkB摩尔热容为：CV,m=3NAkB=3R经典理论热容的计算其中，NA为阿伏伽德罗常数。摩尔热容与材料的性质及温度无关，符合杜隆—泊替定律。固体热容在低温下正比于T3是经典物理无法解释的难题。然而，从量子论的观点出发，每个谐振子能量都是量子化的，其平均能量不再是kBT，而成为：量子理论热容的计算晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和，晶体的3NS个量子谐振子与3NS个格波一一对应，晶格振动能也就是各个格波能量之和：（3-67）（3-58

3、′）由格波态密度函数g(ω)的定义，上式可写成：其中，ωm为截止频率，且有：则定容热容为：把式（3-58′）代入上式，得到（3-68）格波态密度函数：（3-68′）对于具体的晶体，求解g(ω)十分困难，式（3-68）的积分也不容易。人们经常使用简化的模型来讨论晶体热容问题。主要包括：爱因斯坦（Einsten）模型和德拜(Debye)模型，均建立在谐振子能量量子化的基础上，得出了基本正确、超越经典物理的结论。另一方面它们又都对格波的态密度函数作了不同程度的近似。因而结论在定量上与实验有不同程度的偏差。

4、假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动，则晶体中的格波频率都相同。NS个原子组成的晶体振动内能：（3-69）则热容CV为：（3-70）爱因斯坦模型式中的频率ω还是个待定的量。为了确定ω，引入爱因斯坦温度ΘE，定义：则热容成为ΘE和温度T的函数：（3-71）在声子热容CV显著变化的温度范围内，使热容理论曲线尽可能地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦温度ΘE。对大多数固体，ΘE在100～300K之间。把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N个初基原胞组成的三维单式格子(S＝1)，晶体中仅有3

5、支声学支格波，并设它们的相速vp都相同。因而三支格波的色散关系均是线性的:ω=vpq则等频率面（等能面）为球面：德拜模型由式（3-48）可得格波态密度函数：（3-72）代入式（3-68），得：（3-73）式中，截止频率ωm又称为德拜频率，记为ωD，它由格波总数等于3N来确定：（3-74）求得：（3-75）引入德拜温度ΘD，设，作变量代换：则式（3-73）可改写成：（3-76）德拜温度ΘD往往由实验确定，使在不同的温度下，晶格热容CV的理论值与实验值相符，从而确定ΘD。高温情况：固体实际热容和爱因斯坦模

6、型比较主要因为高温时ΘE/T＜＜1，又当x＜＜1时，ex≈1+x，那么（3-71）成为：CV＝3NSkB实验和理论的比较爱因斯坦模型热容表示式（3-71）中：若所考查的晶体为1mol同元素的物质，则NS=N0（N0为阿伏伽德罗常数），CV=3N0kB=3R即与杜隆-珀定律符合。高温情况：固体实际热容和德拜定律比较：其中，所以式（3-76）成为：若所考察的晶体为1mol物质，则N＝N0，CV＝3N0kB＝3R，也与杜隆-珀替定律符合。德拜定律热容的计算式（3-76）中：低温情况：固体实际热容和爱因

7、斯坦模型比较低温时ΘE/T＞＞1，　　　，式（3-71)　变为：当T→0时，晶格热容CV以指数形式很快趋于零。爱因斯坦用该理论解决当年长期困扰物理界的疑难问题。但爱因斯坦模型求出的CV随温度的下降速度比T3规律要快，在定量上并不适用于低温情况。低温情况：固体实际热容与德拜模型比较：（3-77）即CV∝T3，与固体在低温下的热容相符合。低温下ΘD/T＞＞1，所以式（3-76）中的积分上限可近似取为无穷大，则积分成为：图3-20　两种模型的比较高温情况：晶体内能（与温度有关部分）＝晶格振动能＝已激发格

8、波的能量之和，即（3-78）两种模型与实验结果符合或偏离的原因分析随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多。温度足够高时，所有格波都已充分激发：（3-79）由式子（3-59）得：则晶体振动能：该结果也表明每个格波的能量除零点能外，均为kBT，这样热容可表示为在高温的条件下，两种模型都假定全部格波均已充分激发，尽管两种模型对格波频率及其分布做了不同的假设，但都趋于经典极限，与经典理论的分析是一致的。在经典物理中，简谐波的能量与简谐振子的能量相等，而每个简谐