反函数（第二课时）.doc

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1、反函数（第二课时） 【学习目标】1．了解互为反函数的函数图象间的关系．2．会由已知函数图象上的一个点的坐标，求其反函数图象上对应点的坐标．3．会利用已知函数的图象画其反函数的图象． 【学习障碍】1．反函数概念的学习中，先后出现三个函数记号：y＝f（x），x＝f－1（y），y＝f－1（x）不知道它们之间有什么关系．2．函数y＝f（x）与x＝f－1（y）图象的关系不清楚．3．函数x＝f－1（y）与y＝f－1（x）的图象的关系不清楚． 【学习策略】Ⅰ．学习导引1．预习课本P67~68．2．本课时重点是互为反函数的函数图象间的关系．3．关于互为反函数图象间的关系，课本通过几个例题，得出

2、了如下结论：一般地函数y＝f（x）的图象和它的反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称．Ⅱ．知识拓宽1．函数y＝f（x）与其反函数y＝f－1（x）具有相同的单调性．2．f（a）＝bf－1（b）＝a，则依据上式很容易得到：f［f－1（b）］＝f（a）＝b，f－1f（a）］f－1（b）＝a即f［f－1（x）］＝f－1［f（x）］＝x，但f［f－1（x）］与f－1［f（x）］中的x有区别，它们的取值范围不同．Ⅲ．障碍分析1．函数y＝f（x），x＝f－1（y），y＝f－1（x）它们有什么关系？在y＝f（x）与x＝f－1（y）中，字母x，y表示的变量相同，取值范围相同，但地位不同．

3、在y＝f（x）中，x是自变量，y是x的函数，在x＝f－1（y）中，y是自变量，x是y的函数．y＝f（x）与x＝f－1（y）互为反函数．在y＝f（x）与y＝f－1（x）中，x，y的地位相同，即x是自变量，y是x的函数，但x，y表示的量的意义变换了，取值范围也换了，即y＝f（x）中x（或y）与y＝f－1（x）中的y（或x）表示相同的量，y＝f（x）与y＝f－1（x）互为反函数．在x＝f－1（y）与y＝f－1（x）中，字母x，y的地位及其表示的量互相交换，但它们不是同一个函数．2．函数y＝f（x）与x＝f－1（y）的图象有什么关系？函数y＝f（x）与它的反函数x＝f－1（y）图象相同

4、．3．函数x＝f－1（y）与y＝f－1（x）的图象有什么关系？函数x＝f－1（y）与y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称．［例1］已知函数f（x）＝（1）求函数y＝f（x）的反函数f－1（x）的值域；（2）若点P（1，2）是y＝f－1（x）图象上一点，求函数f（x）的值域．解：（1）∵y＝f（x）＝的定义域为{x

5、x≠－2}∴它的反函数y＝f－1（x）的值域为{y

6、y≠－2}（2）∵点P（1，2）在y＝f－1（x）的图象上∴点P（1，2）关于直线y＝x的对称点是P′（2，1）在y＝f（x）图象上，则＝1解得a＝－，于是f（x）＝，可求得f－1（x）＝，由于f－1（x）的定义

7、域为{x

8、x≠－}所以y＝f（x）的值域为{y

9、y≠－}［例2］给定实数a≠0且a≠1，设函数y＝（x∈R，且x≠），求证：（1）这个函数的图象自身关于直线y＝x对称；（2）经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴．证明：（1）由y＝，得（ay－1）x＝y－1．若ay－1＝0，则y－1＝0，∴a＝1与已知矛盾．∴ay－1≠0，∴x＝（y≠）故y＝（x∈R，且x≠）的反函数就是它本身．∴该函数图象自身关于直线y＝x对称．（2）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上任意两个不同点，且x1≠x2，则y1－y2＝，∵x1≠x2，且a≠1，∴y1≠y2．从而图象

10、上任意两个不同点所在的直线不平行于x轴．点评：本题（1）中容易出现的失误是由（ay－1）x＝y－1，直接得出x＝，证明不够严谨，而（2）主要是理解题意不清，不善于将问题转化，而难于下手．［例3］设f（x）＝，函数y＝g（x）图象与函数y＝f－1（x＋1）的图象关于直线y＝x对称，求g（3）．解：由题设可知，y＝g（x）与y＝f－1（x＋1）互为反函数，记g（3）＝m，则点（3，m）在y＝g（x）的图象上，从而点（m，3）在y＝f－1（x＋1）的图象上，因此，得3＝f－1（m＋1），∴f（3）＝m＋1∴m＝f（3）－1＝点评：本题虽然可求出f（x＋1），再求f－1（x＋1），然后

11、得y＝g（x）与y＝f－1（x＋1）的反函数为同一函数，再求g（3）．这样就使得运算繁琐冗长，不如上法简捷．Ⅳ．思维拓展1．函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称．2．函数y＝f（x）图象与y＝－f（x）的图象关于x轴对称．3．函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（－x）的图象关于原点对称．［例4］已知函数y＝x＋m和y＝nx－互为反函数，求m，n的值．思维过程：思路一：求其中一个函数的反函数，与另一个函数比较系数．解法一：由y＝x＋m，解得x＝2y－2m．故y＝x＋m