反函数(第一课时)-点拨.doc

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1、学科：数学教学内容：反函数（第一课时）【学习目标】1．了解反函数的概念．2．会求一些简单函数的反函数．3．会正确使用符号（x）表示f（x）的反函数．4．了解互为反函数的两个函数的定义域、值域、对应法则之间的关系．【学习障碍】1．对反函数的定义理解不透，从而不知道函数在何种条件下具有反函数．2．求反函数的步骤不规范．3．对函数与它的反函数的定义域、值域的关系不明确，不能迅速提高解题质量和速度．4．不知道奇函数的反函数仍是奇函数．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．预习课本P65~67．2．本课时重点是反函数的概念，难点是什么样的函数有反函数．3．关于反函数的概念，本课时主要介绍了反函数的定

2、义：一般地，函数y＝f（x）（x∈A）中，设它的值域为C，我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x＝（y）．如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝（y），x在A中都有惟一的值和它对应，那么，x＝（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x＝（y）（y∈C）叫做y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作．Ⅱ．知识拓宽1．从映射的观点来看，只有一一映射确定的函数才有反函数．2．函数与其反函数在各自的定义域内单调性相同．3．奇函数不一定存在反函数．4．不要把（x）理解为，防止求反函数混为求倒数，（x）表示f（x）的反函数，式中的表示对应法则，它与原来的函数f（x）

3、中的对应法则是互逆的关系．Ⅲ．障碍分析1．是不是所有的函数都有反函数？由反函数的定义知，只有通过x＝（y）,x在A中有惟一的值和它对应，这样的函数x＝（y）（y∈C）才叫做y＝f（x）的反函数．因此单调函数必有反函数．一般来说，偶函数没有反函数，但是，并不是所有的偶函数都不存在反函数．某些特殊的偶函数也存在反函数，如y＝f（x）＝1（x∈{0}）便存在反函数．2．求反函数的步骤有几步？有三步，（1）“反解”由y＝f（x）解出x＝（y）；（2）求原函数的值域，得到反函数的定义域；（3）交换x和y的位置，得到y＝（x）并注明其定义域．3．反函数的定义域与值域和原来函数的定义域与值域有

4、什么关系？反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域．4．奇函数的反函数仍是奇函数吗？是．［例1］求下列函数的反函数．（1）y＝x2－4x＋3（x≥2）．（2）y＝（x∈R且x≠2）解：（1）由y＝x2－4x＋3得（x－2）2＝y＋1∵x≥2,∴x－2＝x＝2＋又∵x≥2,∴y≥－1∴所求反函数为y＝（x）＝2＋（x≥－1）（2）由y＝解得x＝（y≠1）∴所求反函数为y＝（x）＝（x≠1）［例2］已知函数f（x）＝1＋有反函数，且点M（a,b）既在函数y＝f（x）的图象上，又在其反函数y＝（x）的图象上，求a,b的值．解法一：由y＝1＋x＝∴f（x）的反函数为y＝（x）＝（

5、x≥1），从而得,消去b得1＋化简（a－1）4＋2（a－1）2－8（a－1）＋5＝0即［（a－1）－1］2［（a－1）2＋2（a－1）＋5］＝0∵（a－1）2＋2（a－1）＋5≠0,∴（a－1）－1＝0,∴a＝2,b＝2．解法二：∴两式相减，同样可求得a＝2,b＝2．点评：由f（a）＝b（b）＝a，所以原函数的图象过（a,b）点，则其反函数的图象必过（b,a）点．Ⅳ．思维拓展［例3］（1）已知y＝f（x）的图象过点（0，1），则y＝f（4－x）的反函数的图象必过点______________．（2）y＝f（x＋1）的反函数的表达式是y＝（x＋1）吗？解：（1）依题意f（0）＝1,

6、即f（4－4）＝1∴y＝f（4－x）的图象必过点（4，1）∴其反函数的图象必过点（1，4）．（2）不是，由y＝f（x＋1）x＋1＝（y）∴其反函数的表达式为y＝－1＋（x）．Ⅴ．探究学习单调增函数的反函数是增函数吗？参考答案：单调增函数的反函数是增函数．证明如下：设y＝f（x）为增函数，定义域为A，值域为B，则其反函数y＝（x）的定义域为B，值域为A．任取x1，x2∈B,且x1＜x2，设y1＝（x1）,y2＝（x2）,则y1∈A，y2∈A,且得x1＝f（y1）,x2＝f（y2）∵x1＜x2，∴f（y1）＜f（y2）∵y1,y2∈A,且y＝f（x）在A上为增函数．∴y1＜y2,即（

7、x1）＜（x2）∴y＝（x）在B上亦为增函数．【同步达纲练习】一、选择题1．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）＝b,ab≠0，则g（b）等于A．aB．C．bD．2．下列各组函数中互为反函数的是A．y＝和y＝x2B．和x＝C．y＝D．y＝x2（x≥1）和y＝（x≥0）3．函数y＝（a≠bc）的反函数是y＝，则a、b、c的值分别是A．1，－2，－3B．－1，2，3C．－1，－2，3D．1，2，34．若函数y＝f（x）存在反函数，则方程f（x）＝c（c为常数）A．有且只