《线性代数的》讲笺(1).doc

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1、第一章行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行

2、列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。1.1二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22–a12a21≠0时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解

3、．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成，，如果记，，则当D≠0时，方程组(1)的解(2)可以表示成，，(3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记

4、忆．首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，，，因此，方程组的解是，，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令，，．当D≠0时，(4)的解可简单地表示成，

5、，(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：，，，．所以，，，．例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．1.2排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．

6、由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列．定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面(is

7、如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)．如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成

8、了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变