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1、二次函数图像与性质中考要求①通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式。②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）并能解决简单实际问题。④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。二次函数的概念形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，是自变量，分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。二次函数的特殊形式：y=ax2y=ax2+cy=a(x-h)2y=a(x-h)2+k注意：1.
2、函数的表达式是关于x的；2.自变量x的最高次数是；3.系数≠0。抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值a>0a<0增减性a>0a<0二次函数的图象及性质当a>0时开口向上，并向上无限延伸；当a<0时开口向下，并向下无限延伸.(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)直线y轴直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小xyxyy轴yxOa＞0a＜0图象开口对称轴顶点坐标最值当x＝时，y有最值当x＝时，y有最值增减性在对称轴左侧y随x的
3、增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而向上向下直线x=h直线x=h（h，k）（h，k）hh小大减小减小增大增大二次函数的图像和性质y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状、大小相同,位置不同。各种形式的二次函数的关系平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移。上加下减，左加右减。二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与抛物线的关系aa,bc△a决定开口方向
4、：a＞０时开口向上，a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴c＝０时抛物线过原点c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点△＝０时抛物线与x轴有一个交点△＜０时抛物线于x轴没有交点左同右异二、典例分析例1：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：
5、①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是.第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.思路点拨：本题考查同学们的识图能力.第（2）问要求我们具有一定推理能力.由（1）知a＞0，b＜0，c＜0；∴abc＞0；又对称轴＜1，∴2a+b＞0；∵（-1，2），（1，0）在抛物线上，代入解析式得①+②得a+c=1，得a=1-c，∵c＜0∴1-c＞1，即a＞1.第（1）问中观察函数图像得：图像开口向上决定a＞0；对称轴＞0，
6、可得b＜0；x=0时，y＜0，即c＜0；由x=1时，y=0，得a+b+c=0.①④②③④例2：抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点，（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方?（4）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？二、典例分析思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x2+（m－1）x+m即可求得m的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.（1）m=3，抛物线y=－x2+2
7、x+3，图略；（2）x轴的交点为（－1，0），（3，0），顶点为（1，4）； （3）当－11时.例3.在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).⑴求该二次函数的关系式.⑵将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.分析:这是一个平移的变形题,求出已知抛物线与轴的交点坐标,再将其中在原点左侧的交点平移到原点即可.这样的题目最好的解决办法是画出草图,利用图象解决,既快有准.解:⑴设二次函
8、数关系式为y=a(x-1)2-4∵二次函数图象过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1.∴二次函数关系式为y=(x-1)2-4即y=x2-2x-3.典例分析⑵令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)(-1,0)∴二次函数图象向右平移1个单位长度后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交
