专题31 平面向量的数量积(解析版).docx

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1、高考专题31平面向量的数量积专题知识梳理1．两个向量的夹角定义X围已知两个__非零__向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的X围是__0°≤θ≤180°__，当θ＝__0°或180°__时，两向量共线，当θ＝__90°__时，两向量垂直，记作a⊥b　　2.向量数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a和向量b的夹角，记作θ.(2)数量积的定义：

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a，b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b＝__

6、

7、a

8、

9、b

10、cosθ__．(3)数量积的几何意义：向量a和向量b在a方向的投影的乘积．3．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝

11、a

12、cosθ.(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒__a⊥b__．高考(3)a·a＝

13、a

14、2，

15、a

16、＝____．(4)cosθ＝____．(5)

17、a·b

18、≤

19、a

20、

21、b

22、.4．数量积的运算律(1)交换律a·b＝__b·a__．(2)分配律(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__．(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．5．数量积的坐标运算设a＝

23、(a1，a2)，b＝(b1，b2)．(1)a·b＝__a1b1＋a2b2__．(2)a⊥b⇔__a·b＝0__(a，b为非零向量)，即a1b1＋a2b2＝0.(3)

24、a

25、＝____．(4)cosθ＝____．6．结论(1)a、b、c是非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b，如图所示．高考(2)(a·b)c≠a(b·c)．因为(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线．一般情况下，a与c不一定共线，所以(a·b)c与a(b·c)不相等．7．公式(1)(a±b)2＝__a2±2a·b＋b2__．(2)(a＋

26、b)·(a－b)＝__a2－b2__．(3)(a＋b＋c)2＝__a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c__．考点探究考向1　向量的数量积运算【例】（2018·某某模拟）如图所示，在平行四边形中，为垂足，且，则______________.【解析】如图，延长，过作延长线的垂线，所以在的方向投影为，又，所以。高考题组训练1.在中，，，.若，，且，则的值为___________.【解析】2.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________．【解析】依题意有a·b

27、＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝＋＋＝－.考向2平面向量的夹角问题【例】（1）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.高考（2）如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若,则▲.【解析】（1），，，，解得：．（2）题组训练1.若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值X围是_________.【解析】，的夹角为钝角,高考解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的X围是2.

28、已知

29、

30、＝1，

31、

32、＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为____．【解析】∵·＝0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．∵tan30°＝＝，∴m＝3n，即＝3.3.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.【解析】∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，∴3＋m＝××cos，∴m＝.考向3平面向量数量积的综合应用【例】（2019·某某模拟）已

33、知.（1）若，求角的值；高考（2）求的最小值.【解析】（1）因为，且所以即，又所以，（2）因为，所以因为，所以，故当时，取到最小值题组训练1.已知向量=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求

34、+

35、的取值X围。【解析】(1)设=(x,y)则由<,>=得：cos<,>==①由·=-1得x+y=-1②联立①②两式得或∴=(0,-1)或(-1,0)高考(2)∵<,>=

36、得·=0若=(1,0)则·=-1¹0故¹(-1,0)∴=(0,-1)∵2B=A+C，A+B+C=pÞB=∴C=+=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC)∴

37、+

38、=======∵0

39、+

40、Î()高考2.（2018·某某月考）在平面直角坐标系中，设向量，，其中为的两个内角.（1）若，求证：为直角；（2）若，求证：为锐角.【解析】（1）易得，因为，所以，即.因为，且