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《2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直一素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.6.2直线与平面垂直(一)【情境探究】1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.必备知识生成2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(
2、1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因
3、此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.【知识生成】1.直线与平面垂直的定义任意一条直线垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b3.直线与平面所成的角相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足AO∠PAO90°0°关键能力探究探究点一 直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④(2)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥
4、m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥m,m⊂α,则l∥α【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.【解析】(1)选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可以保证线面垂直.因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直.因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以保证线面垂直.若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.(2)选B.对于A,由l⊥m及m⊂α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可
5、能平行或异面,故C错误;对于D,有可能l⊂α,故D错误.【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.【定向训练】如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内()A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任一条都与l垂直【解析】选C.平面α内与l在α内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故
6、A,B不正确,C正确;若在平面α内,任一条都与l垂直,则直线l与平面α垂直,与题设矛盾,故D不正确.探究点二 线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(
7、1)的结论可利用.【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.【类题通法】证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用).②判定定理最常用(有时作辅助线).(2)平行转化法(利用推论)①a∥b,a⊥α⇒b⊥α.②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.【定
8、向训练】1.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证AD⊥平面SBC.【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥A
