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1、第6章自旋与全同粒子§6.1电子的自旋算符和自旋波函数在原子物理学课程中我们已经了解了电子具有自旋的如下实验事实:Stern－Gerlach实验、光谱线的精细结构（包括：碱金属的双线结构、简单Zeeman效应、复杂Zeeman效应等）。Uhlenbeck和Goudsmit为了解释这些现象，在1925年提出了下面的假设：每个电子具有自旋角动量S(其自旋量子数为s=1/2),它在空间任何方向上(如：z方向)的投影只能取两个数值：每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量的关系式：电子自旋的回转磁比率为：在量子力学中如何描述
2、电子的自旋呢？自旋角动量也是描述电子状态的一个力学量，它是电子内部状态的表征，它与电子的坐标和动量无关，它的取值量子化（不连续）。在量子力学中，自旋角动量用算符表示由于在空间任意方向上的投影只能取，所以为简便起见，引入算符，它与的关系为满足对易关系：和反对易关系：且有故为单位算符具有自旋的电子的本征函数可记为：这样，如果已知电子处于的自旋态，则：表示t时刻在r处发现电子自旋朝上的概率；如果已知电子处于的自旋态，则：表示t时刻在r处发现电子自旋朝下的概率。波函数是2×1矩阵，则自旋算符应为2×2矩阵，设为解得a=1,b
3、=0,c=0,d=-1,即：由对易关系式可求得：相应的，有：Pauli矩阵波函数的归一化：概率密度：当电子的自旋运动与轨道运动相互作用可忽略时，当电子的自旋运动与轨道运动相互作用可忽略时，其中为描写电子自旋状态的自旋波函数，自旋算符仅对作用，而有两个：自旋算符的任意函数亦可表示为2×2矩阵：对坐标和自旋同时求平均的结果为：对自旋求平均的结果为：例题6.1设氢原子的状态波函数是（1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值，（2）求总磁矩的z分量的平均值。解：（1）的可能值有，概率分别为平均值：的可能值有,概率分别
4、为平均值：（2）由有：即和是的本征函数。所以，在态中测量可能值有：，概率分别为平均值§6.2两个角动量的耦合当微观体系涉及到的角动量不止一个时，必须讨论角动量的耦合问题。如原子体系中价电子不止一个时，电子的轨道角动量与轨道角动量之间，轨道角动量与自旋角动量之间，自旋角动量与自旋角动量之间，都可以相互耦合。不失一般性，可考虑两个角动量J1和J2之间的耦合，讨论如下：已知：设：因为相互对易，其共同本征矢｜j1,m1,j2,m2>＝｜j1,m1>
5、j2,m2>组成正交归一完全系。角动量耦合：令：可证：①即两个角动量相加仍为
6、角动量②③④⑤由于相互对易，所以它们有共同本征函数，记为｜j1,j2,j,m>,有可按｜j1,m1,j2,m2>展开为且有：j=j1+j2,j1+j2-1,...,
7、j1-j2
8、m=j,j-1,...,-j+1,-jC-G系数（6.22）J的取值讨论如下：m，m1，m2的最大值为J，J1，J2，而m＝m1＋m2,所以jMAX＝j1＋j2再看jMIN＝？m1=j1,j1-1,...,-j1+1,-j1共2j1＋1个值m2=j2,j2-1,...,-j2+1,-j2共2j2＋1个值m：共有（2j1＋1）（2j2＋1）个值
9、对应于j，m＝j,j-1,...,-j+1,-j共（2j＋1）个值。如果用jMIN表示j可能的最小值，则则｜j1,j2,j,m>的数目推导C－G系数很复杂，有专用表可查，下面列出了j1任意,j2=1/2时的C-G系数--将上述系数代入（6.22）有：§6.3光谱的精细结构①类氢原子的双线结构讨论无外场时电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。不考虑核外电子的屏蔽时，Hamilton为：是不考虑电子自旋和轨道相互作用时的Hamilton，其解为有电子自旋和轨道相互作用时，以表示电子的总角动量算符，因为两两对易，与任何算符
10、对易，所以体系的定态也可以用的共同本征函数描写。这些波函数是耦合表象中的基矢。这时电子的态由n,lj,m四个量子数确定。和不对易。由于的本征值是简并的，可用简并情况下的微绕理论来解此方程。令而令则有从而可见，自旋轨道耦合使原来2n2重简并的能级分裂开来，简并部分的被消除。（因为中不含量子数ｍ，ｍ可取2j+1个值，所以还有2j+1度简并保留下来。）讨论：①l＝0时，能级没有分裂；②l≠0时，当ｎ和ｌ给定后，ｊ可取两个值，ｊ＝ｌ±1/2，即具有相同量子数ｎ，ｌ的能级有两个，它们之间的差别很小，这就是产生光谱线精细结构—双
11、线结构的原因。相应的零级近似波函数为:如钠原子3P→3S的精细（双线）结构：②简单Zeeman效应考虑氢原子或类氢离子在均匀外磁场中的情形。由于电子轨道磁矩和自旋磁矩受到外磁场的作用，电子有由磁场引起的附加能量。此外，电子的自旋和轨道运动之间也有相互作用，但在外场较强时，此相互作用引起的附加能量与前面由外场引起的附加能量相比小得多，可以略去。取
