§3.4-薛定谔波动方程(PPT-YBY).pptx

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1、§3.4薛定谔波动方程一、薛定谔方程1．自由粒子的薛定谔方程（1）将（1）对时间求微商，得（3）再将对坐标求二阶微商（2）――自由粒子的薛定谔方程。拉普拉斯算符：（5）2．薛定谔方程的一般表达式：（1）能量算符和动能算符将（2）和（4）两式可改写为如下形式：将以上三式相加得：（4）利用：可见，粒子的能量和动量各与下列作用在函数上的算符相当：（6）这两个算符依次称为：能量算符和动量算符。（2）薛定谔方程的一般表达式：（7）3、定态薛定谔方程：（1）定态薛定谔方程及波函数：当势场不显含时间时代入（7）式（8）（9）（11）（9）式的解（10）4、对薛定谔方程的说明：（13）（1）薛定谔方程的建立是

2、通过引导而建立的。（2）薛定谔方程式具有复数系数的线性微分方程，它的解必然是复数函数。（12）称为定态薛定谔方程。（2）定态时粒子在空间中的几率密度：（12）（3）Schrodinger方程是非相对论的量子力学方程。（3）经典薛定谔方程时空微商的不对称性.二、应用举例1、一维无限深势阱：（1）在阱内：若记：（1）IIIII（2）（3）（4）(4)式的解为（5）（2）在阱外其解必为（3）根据的连续性条件有：（6）（7）（8）（9）（10）（11）得到归一化波函数3．讨论（1）能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假

3、定。（2）能级分布是不均匀的，相邻能级的间距当能级可视为连续的。图4.2（3）不同量子数下的波函数及几率密度的曲线见图4.2所示。（3）不同定态能量间距与势阱宽度a的关系2、一维有限深势阱*一维有限深势阱如图4.3所示，可表示为：令：4.3一维有限深势阱其中各个系数待定；在势阱边界连续条件超越方程，可用数值计算或图解法确定能量。①波函数：相应的波函数是：相应的波函数是：②能量：现用图解法来确定能量，为此，令：有：这是一个圆的方程式，再将表示为：以为横坐标，为纵坐标作曲线图当半径在时，任一个圆只有一个交点。之间的于是得到一个能量值，相应波函数为偶态。两个能量值，相应波函数一个为偶态，一个为奇态：

4、三个能量值，两个偶态，一个奇态3、隧道效应（势垒贯穿）5.1一维方势垒一维有限宽方形势垒一维方形势垒的定态Schrodinger方程：（Ⅰ，Ⅲ）：（Ⅱ）：方程的解为：在区域I：在区域Ⅱ：在区域III：利用波函数及其微商在边界连续的条件来确定波函数的系数只讨论的情形。若令：则：透射系数（穿透几率）：透射波的几率流密度与入射波几率流密度之比若粒子能量E很小，则可见，虽然，粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为结果如图：