2021年新高考数学解答题满分专练2.9 圆锥曲线-双曲线（解析版）.docx

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1、专题2.9圆锥曲线-双曲线1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上．当时，．（1）求双曲线的方程．（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三）【答案】（

2、1）；（2）是定值，2．【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得，由，的坐标得，，结合及三角形面积公式即可求出．【解析】（1）由题意，易得，，则由，可得，，即．又，解得（负值舍去），，解得，双曲线的方程为．（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为，设，，其中，．为线段的中点，，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得．设，则．又，，，，，．又，，，的面积为定值2．【名师点睛】本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出

3、点，的坐标，设，得出和．2．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，虚轴上､下两个端点分别为，，右顶点为，且双曲线过点，．（1）求双曲线的标准方程；（2）设以点为圆心，半径为2的圆为，已知过的两条相互垂直的直线，，直线与双曲线交于，两点，直线与圆相交于，两点，记，的面积分别为，，求的取值范围．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由得，由双曲线过点得，两个方程联立求出和，可得双曲线的标准方程；（2）设直线：，根据垂直关系得直线：，求出弦长和，求出，再根据参数的范围可求出结果．【解析】（1）由双曲线的方程可知，

4、，，，则，．因为，所以，即．①又双曲线过点，所以．②由①②解得，，所以双曲线的标准方程为．（2）设直线：，，，则由，得直线：，即．因为圆心到直线的距离，所以，又，故．联立消去得，，则，，所以，则，又，所以．即的取值范围为．【名师点睛】设直线：，用表示和是本题的解题关键．3．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）；（2）存在；；定点．【分析】（1）由

5、已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程；（2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q．【解析】（1）由题意，，解得，．所以双曲线方程为；（2）设直线的方程为，设定点，联立，得．所以，且，解得且．设，，所以，，所以，．所以为常数，与无关，所以，即，此时．所以在轴上存在定点，使得为常数．【名师点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题．4．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且．（1）求

6、C的方程；（2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D．若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值．【试题来源】江苏省徐州市高三二检考试（数学学科）【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由点的坐标求c，再根据双曲线定义求a，即可求解；（2）设直线l方程为，直接求出的斜率，联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，化简即可求解．【解析】（1）设，，其中．因为，所以，解得或，又，故．所以，即．所以．所以C的方程为．（2）设，，则．设直线l方程为，与双曲线C方程联立，消去y得，．由，得．，．所以．所以．所以为定值．【名师点睛】设直线l方程为

7、，联立直线与双曲线方程，消元，由根与系数关系可得，，计算斜率化简是解题关键，属于中档题．5．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）；（2）和．【分析】（1）根据焦点坐标，可得，所以，代入双曲线方程，可得，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线的方程为，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数关系，可得的表达式，代入弦长公

8、式，即可求得，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直