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1、等差数列性质§等差数列一.课程目标1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.二.知识梳理1.定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an+1-an=d(n€N*,d为常数n-an-1=d(n>2,d为常数2.通项公式若等差数列｛an｝的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1
2、+(n-1)d.3.前n项和公式等差数列的前n项和公式：22111)()(nnaandnnnaS+=-+=其中n€N*,a1为首项,d为公差,an为第n项).3.等差数列的常用性质已知数列｛an｝是等差数列,Sn是｛an｝的前n项和.(1)通项公式的推广：*),()(Nmndmnaamn-+=€(2)若m+n=p+q(m,n,p,q€Nq)pn则有aaa+=+。特别的，当pnm2=+时,pnmaaa2=+(2)等差数列｛an｝的单调性:当d>0时,｛an｝是递增数列当d<0时,｛an｝是递减数列当d=0时,｛an｝是常数列.⑷若{an}是
3、等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m€N*)是公差为md的等差数列.(5)若}{},{nnba是等差数列,则}{nnqbpa+仍是等差数列.4.与等差数列各项和相关的性质(1)若}{na是等差数列，则}{nSn也是等差数列,其首项与}{na的首项相同,公差为}{na的公差的21。(2)数列mmmmmSSSSS232--,，…也是等差数列(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为n2,则1+==-nnaaSSndSS偶奇奇偶,。b.若项数为12-n,则nannS)(1-=偶,nnaS=奇,1+==-nn
4、SSaSSn偶奇奇偶,。⑷若两个等差数列}{},{nnba的前n项和分别为nnTS,,则1212--=nnnnTSba1.等差数列的前n项和公式与函数的关系:(1)ndandS)(22+=,数列{an}是等差数列?12Sn=An212+Bn(A,B为常数).⑵在等差数列｛an｝中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.一.考点梳理1•等差数列的概念及运算例1.(2016•全国I)卷知等差数列｛an｝前9项的和为27,a10=8,则a100=()例2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=6,S4=12
5、,则S6=练习1.(2015•全国I卷知｛an｝是公差为1的等差数列,Sn为｛an｝的前n项和若S8=4S4,则a10等于()2.等差数列的性质例1.(2015•全国口卷Sn是等差数列｛an｝的前n项和若a1+a3+a5=3,则S5=()例2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()例3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()例4.(2015•广东在等差数列｛an｝中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.例5.(20
6、16•武汉调研知数列｛an｝是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列｛an｝的公差d等于()例6.设等差数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有SnTn=2n-34n-3,则a9b5+b7+a3b8+b4的值为.3.等差数列与函数例1.等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a仁13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是（）例2.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a1>0且a6a5=911,则当Sn取最大值时,n的值为（）例3.已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a10仁0,（则有1+a101
7、>02+a100<03+a99=051=51例4.已知正项等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S12=24,则a6•a的最大值为（）例5.设｛nS｝是公差为d（0工d）的无穷等差数列a的前n项和,则下列命题错误的是（）A.若d<0,则数列｛nS｝有最大项B.若数列｛nS｝有最大项，则d<0C.若数列｛nS｝为递增数列，则对任意*Nn€,均有＞0D.若对任意*Nn€,
8、均有＞0,则数列｛nS｝为递增数列例6.设等差数列｛an｝满足a2=7,a4=3,Sn是数列｛an｝的前n项和，则使得Sn＞0成立的最大的自然数n是()A.9B.10C.11
9、D.12方法总结:求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(1)将等差数列的前n项和Sn=An2+
