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《2021_2022学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.42.4.2圆的一般方程学案新人教A版选择性必修第一册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、优选2.4.2 圆的一般方程学习任务核心素养1.掌握圆的一般方程及其特点．(重点)2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)3.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？知识点 圆的一般方程(1)圆的一般方程当D2＋E2－4F>
2、0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，当点M在圆外、圆上、圆内时，x0，y0满足怎样的关系式？[提示] 点M在圆外⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0；点M在圆上⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F-9-/9优选＝0
3、；点M在圆内⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．(2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.(1)(3,0) (2)4[(1)方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，则圆心坐标为(3,0)．(2)由题意知解得]类型1 圆的一般方程满足的条件【例1】 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(2)若
4、方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．①求实数m的取值范围；②写出圆心坐标和半径．(1)(－2，－4) 5[方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.](2)[解]①法一：根据D2＋E2－4F>0求解．由表示圆的
5、条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<，即实数m的取值范围为.法二：化为圆的标准方程求解．-9-/9优选方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m.由题意知1－5m>0，即m<.所以实数m的取值范围是.②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋E
6、y＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：(1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．(2)将该方程配方为＋＝，根据圆的标准方程来判断．[跟进训练]1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[解]法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.因此，当m＝2时
7、，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝
8、m－2
9、.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，-9-/9优选因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝
10、m－2
11、.类型2 求圆的一般方程【例2】(对接教材P86例题)已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5,3)，E(4,2)，F(1,1)．(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；(2)求△ABC的外接圆的方程．[解] (
12、1)由题意可知kED＝kAB＝＝1，又F(1,1)为AB的中点，∴AB所在直线的方程为y－1＝1·(x－1)，即x－y＝0.①同理CA所在直线的方程为x－2y＝0，②联立①②，得A(0,0)．因此直线AB的方程为x－y＝0，点A的坐标为(0,0)．(2)由线段AB的中点F(1,1)及A(0,0)得B(2,2)，由线段AC的中点E(4,2)及A(
