2021_2022学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.52.5.1第2课时直线与圆的方程的应用学案新人教A版选择性必修第一册.doc

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1、优选第2课时　直线与圆的方程的应用学习任务核心素养1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点)通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m．当水面下降1m后，水面宽多少米？如何才能正确地解决上述问题？知识点　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算

2、结果“翻译”成几何结论．一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是(　　)A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化D[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]-8-/8优选类型1　直线与圆的方程的实际应用【例1】(对接教材P93例题)某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？[解]　建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)

3、．设这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则有解得所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过．试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．[提示]　(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．[跟进训练]1．台风中心从A地以20km/h的速

4、度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为________小时．1[如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E-8-/8优选，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE＝20km，在Rt△BEN中，NE＝＝10，则

5、MN

6、＝20，所以时间为1h．]类型2　直线与圆的综合性问题【例2】　(1)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y

7、＝2的距离的最大值是(　　)A．2　　　B．1＋　　　C．1＋　　　D．1＋2(2)已知圆M与直线x＝2相切，圆心在直线x＋y＝0上，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，则圆的方程为________．(1)B　(2)x2＋y2＝4[(1)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线x－y＝2的距离d＝＝，则所求距离的最大值为1＋.(2)因为圆心在直线x＋y＝0上，所以设圆心M(a，－a)，因为圆M与直线x＝2相切，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，所以解得所以

8、圆的方程为x2＋y2＝4.]已知直线和圆的位置关系求圆的方程已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程．基本步骤为：设所求圆的方程→根据已知位置关系或数量关系建立方程→解出参数并检验→确定圆的方程．[跟进训练]2．(1)M为圆x2＋y2＝1上的动点，则点M到直线l：3x－4y-8-/8优选－10＝0的距离的最大值为________．(2)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x被圆所截得的弦长为2，则此圆的方程为________．(1)3　(2)(x－3)2＋(y－

9、1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9[(1)圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)到直线3x－4y－10＝0的距离为d＝＝2，又圆的半径r＝1，故M点到直线l的最大距离为d＋r＝2＋1＝3.(2)因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，所以设圆心坐标为(3b，b)，圆的半径为3

10、b

11、，故圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因为直线y＝x被圆所截得的弦长为2，所以＋()2＝9b2，解得b＝±1，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.]类型3　与圆有关的最值问题【例3】　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y

12、2－6x－