北京市西城区数学（理科）抽样测试答案

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1、高三数学（理科）参考答案及评分标准一、BCBDCAACDABC二、（13）-20（14）y=-x2+1（15）45o（16）②③三、解答题：其他解法仿此给分17．解：（Ⅰ）（2分）（4分）∴的最小正周期为2π（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的最大值为2+a（10分）∴2+a=1∴a=-1（12分）18．解：（Ⅰ）由已知a1=6+b（2分）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3·2n+b-（3·2n-1+b）=3·2n-1（5分）∴{an}从第二项起成等比数列。若{an}是等比数列，则首项为3，公比为2。∴6+b=3∴b=-3（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）Sn=3·2n-3Sn+1=3·2n

2、+1-3（10分）n→∞n→∞n→∞∴（12分）19．解：（Ⅰ）已知几何体为长方体∴A1D1⊥平面ABB1A1∴A1D1⊥AE（2分）又AB=1，BB1=1，E为BB1的中点∴△ABE为等腰直角三角形∴AE=同理A1E=∴∠AEA1为直角即AE⊥A1E∴AE⊥平面A1D1E（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）AE为三棱锥的高，△A1D1E为Rt△∴（6分）4（Ⅲ）取AA1中点O，连OE，则EO⊥A1A、EO⊥A1D1∴EO⊥平面ADD1A1过O在平面ADD1A1中作OF⊥AD1，交AD1于F。连结EF，则AD1⊥EF∴∠EFO为二面角E—AD1—A1的平面角（9分）在△AFO中，OF=O

3、A∴即二面角E—AD1-A1的平面角的正切值为（12分）20．解：（Ⅰ）设第n年后的产量为an，则a1=a（1+150%）a2=a（1+159%）（1+75%）a3=a（1+150%）（1+75%）（1+37.5%）……即（3分）∴（n≥2，n∈N）（5分）（Ⅱ）依题意（7分）由＜1，得＜，∴2n＞27（10分）由于25＞27，24＜27。又n∈N　∴　当n≥5时，an＜an-1。故从第5年起产量比上一年减少。（12分）21．解：（Ⅰ）f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）即（1分）∵a＞0，b是自然数，函数当x≤0时，f（x）≤0；x＞0时，f（x）＞0∴f（x）最大值

4、在x＞0时取得。4∴x＞0时，≤（4分）当且仅当即时，等号成立。于是f（x）最大值为，即=，∴∴a=b2……①（6分）又f（1）＞，∴＞∴5b＞2a+2……②①代入②得2b2-5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N，∴b=1。∴a=1∴（8分）（Ⅱ）设存在直线l与y=f（x）图象交于P、Q两点，且P、Q中点为（1，0）。设P（x0，y0），则Q（2-x0，-y0）消y0得。∴进而得到相应的Q（12分∴存在题目要求的直线l，l：x-4y-1=0。22．解：（Ⅰ）由已知　　　　　∴∴所求双曲线的方程为x2-y2=1。（2分）（Ⅱ）{设l：x=my+b，（m≠±1）y=x由得x=my

5、+b4{y=-x由得x=my+b{∴AD中点坐标为（4分）x2-y2=1由得（m2-1）y2+2mby+b2-1=0x=my+b∴∴BC中点坐标为（6分）∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴

6、AB

7、=

8、CD

9、（7分）（Ⅲ）设（a，a）D（b，-b）a＞0，b＞0∵

10、AB

11、=

12、BC

13、=

14、CD

15、∴即（9分）∴点C在双曲线上∴（11分）又（13分）∴△OBC的面积为定值。4