2021_2022学年新教材高中数学第4章指数与对数4.1指数学案苏教版必修第一册.doc

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1、优选4.1　指数学习任务核心素养1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义.1．借助根式的性质对根式运算，提升学生的数学运算核心素养．2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.我们已经知道，，2，3，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，，….那么，，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值X围从整数推广到实数．为此，我们

2、需要先学习根式的知识．知识点1　基本概念1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a9/9优选的n次方根只有一个，记作x＝；②当n为偶数时，正数的

3、n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．1.是根式吗？根式一定是无理式吗？[提示]是根式，根式不一定是无理式．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.(　　)(2)＝π－4.(　　)(3)＝－2.(　　)[提示](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝

4、π－4

5、＝4－π；(3)没意义．[答案](1)×　(2)×　(3)×知识点2　根式的

6、性质(1)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)()＝a(n为大于1的奇数)；(3)()＝

7、a

8、＝(n为大于1的偶数)．(4)()n＝a(n∈N*，且n>1，a使得有意义)．2.＝a对任意实数a都成立吗？[提示]不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式＝a恒成立．当n为正偶数时，＝

9、a

10、.2.若n是偶数，＝x－1，则x的取值X围为________．[1，＋∞)　[由题意知x－1≥0，∴x≥1.]知识点3　分数指数幂的意义9/9优选一般地，我们规定：(1)a＝(a>0，m，n均为正整数)；(2)a＝(a

11、>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．3.(1)可化为(　　)A．aB．aC．aD．－a(2)3可化为________．(1)A　(2)　[(1)＝a.(2)3＝＝.]知识点4　有理数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．4.化简[(－)2]的结果为________．　[原式＝[()2]＝()－1＝.]类型1　根式的性质【例1】　求下列各式的值．(1)；(2

12、)；(3)；(4)；(5)－，x∈(－3,3)．9/9优选[解](1)＝－2.(2)＝＝.(3)＝

13、3－π

14、＝π－3.(4)＝＝

15、a3

16、＝(5)原式＝－＝

17、x－1

18、－

19、x＋3

20、，当－3

21、3.

22、14－π

23、＋

24、3.14＋π

25、＝2π.(2)原式＝

26、m－n

27、＋(m－n)＝(3)由题知0＝

28、x－1

29、＋

30、y＋3

31、∴⇒∴yx＝(－3)1＝－3.类型2　根式与分数指数幂的互化【例2】　将下列根式化成分数指数幂的形式．9/9优选(1)(a>0)；(2)；(3)(b>0)．[解](1)原式＝(2)原式＝.(3)原式＝.1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝和a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘

32、积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的X围更常用．[跟进训练]2．用分数指数幂表示下列各式．(1)(a>0，b>0)；(2)(a>0，b>0)．9/9优选[解]　(1)＝＝1.类型3　分数指数幂的运算【例3】　(1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋

33、－0.01

34、；(2)化简：．[思路点拨]将各个根式化成指数幂的形