新第28章 锐角三角函数 专项训练2（含答案）

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第28章锐角三角函数专项训练专训1　解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．21cnjy.com(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．21·cn·jy·com(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．(第3题) 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．www.21-cn-jy.com(第4题)已知斜边和一锐角解直角三角形5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．www-2-1-cnjy-com(第5题)6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长．2-1-c-n-j-y(第6题)已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝ ，求∠A的三角函数值．(第7题)化解四边形问题为解直角三角形问题8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积．【来源：21cnj*y.co*m】(第8题)化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sinA＋sinB的值．专训2　构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．【出处：21教育名师】构造一个直角三角形解实际问题1．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利 、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．(第1题)2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：≈1.414，≈1.732)(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)21*cnjy*com(第3题) 4．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7)【版权所有：21教育】(第4题)5．如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．21教育网(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题6．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．21教育名师原创作品(第6题) 7．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)21世纪教育网版权所有(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解实际问题8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．21*cnjy*com(第8题)答案1．解：∵a＝2，b＝6，∴c＝＝＝＝4.∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°. 2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝＝5.∴sin∠BAC＝＝.过点B作BD⊥MC于点D.设点B到直线MC的距离为d，则BD＝d，∵∠BCM＝∠BAC，∴sin∠BAC＝sin∠BCM.∴sin∠BCM＝＝，即＝，∴d＝.即点B到直线MC的距离为.3．解：(1)由题意知sinC＝，即＝，则AC＝6.(2)由题意知tanC＝，即＝，则BC＝3.4．解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3.∵∠A＝30°，BC＝3，∴tanA＝＝＝，即AC＝3.∴AD＝AC－CD＝3－3.5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，∴∠A＝45°.a＝b＝5.6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin30°＝4×＝2.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°.∵cos∠CAD＝＝＝，∴AD＝4.7．解：过点D作CD的垂线交BC于点E，如图．在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝＝，∴可设DE＝x，则CD＝3x.∵CD⊥AC，∴DE∥AC.又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点． ∴DE＝AC.∴AC＝2DE＝2x.在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝＝＝x.∴sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.方法技巧：本题中出现了tan∠BCD＝，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．2·1·c·n·j·y(第7题)　　　(第8题)8．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝，∴EH＝DE·cos45°＝×＝1，∴DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝＝，CD＝＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2，∴AB＝AE＝2，∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋＝3＋，∴S四边形ABCD＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝. 方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．【来源：21·世纪·教育·网】9．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形．(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝c.②将②代入①，得a＝c.∴在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝＋＝＋＝.点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．21·世纪*教育网1．解：如图，过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×＝25，∵GD＝50－30＝20，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×＝.答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm. (第1题)2．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.则DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m－10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10≈70－17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m.(第2题)　　　(第3题)3．解：(1)如图所示，延长BA，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，则∠2＝15°，即BA′平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x， 故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x＋x＝40，∴解得：x＝20(3－)，答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－)海里．4．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．(第4题)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG－BC＝CG，∴x－x＝8，解得：x≈11(m)．答：电线杆的高约为11m.5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×＝10(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，∴AE＝＝＝10(m)．答：改造后的坡长AE为10m.(第5题) 　　　(第6题)6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝32m，∴AD＝CD＝AB·sin30°＝16m，BD＝AB·cos30°＝16m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋16)m，则BH＝BC·sin30°＝(8＋8)m.7．解：过点C作CD⊥AB于D.在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则CD＝BD＝9米．在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)．所以AB＝AD＋BD≈15.75米，整个过程中国旗上升的高度约是：15.75－2.25＝13.5(米)，因为耗时45秒，所以上升速度为＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．8．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.∴CE＝21米，∴AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(米)．在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，∴DE＝AE×tan30°＝27×＝9(米)，∴CD＝CE－DE＝(21－9)米．即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(21－9)米．