关于ku空间的对偶空间

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1、宝鸡文理学院学报（自然科学版），第３２卷，第２期，第８－１２页，２０１２年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｏｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ），Ｖｏｌ．３２，Ｎｏ．２，ｐｐ．８－１２，Ｊｕｎ．２０１２ＤＯＩ：ＣＮＫＩ：６１－１２９０／Ｎ．２０１２０５０８．０９２６．００２ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／６１．１２９０．Ｎ．２０１２０５０８．０９２６．００２．ｈｔｍｌ＊关于ｋ－Ｕ－空间的对偶空间乌日柴胡，苏雅拉图（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２２）摘要：目的研究ｋ－Ｕ－空间的

2、对偶概念：ｋ－Ｕ＊－空间及其性质。方法利用了Ｂａｎａｃｈ空间理论的方法。结果与结论ｋ－Ｕ－空间和ｋ－Ｕ＊＊是ｋ－Ｕ＊－空间是一对对偶概念，即若Ｘ－空间，则Ｘ是ｋ－Ｕ－空间。若Ｘ＊是ｋ－Ｕ－空间，则Ｘ是ｋ－Ｕ＊－空间。关键词：ｋ－Ｕ－空间；ｋ－Ｕ＊＊－空间；ｋ－Ｕ－光滑性模中图分类号：Ｏ１７７．２文献标志码：Ａ文章编号：１００７－１２６１（２０１２）０２－０００８－０５Ｏｎｄｕａｌｓｐａｃｅｓｏｆｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅｓＷｕｒｉｃｈａｉｈｕ，Ｓｕｙａｌａｔｕ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｃｉｅｎｃｅ，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｈｈ

3、ｏｔ０１００２２，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａ，Ｃｈｉｎａ）＊Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｉｍＴｏｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅａｓｄｕａｌｓｐａｃｅｏｆｋ－Ｕ－Ｕ－ｓｐａｃｅａｎｄｉｔｓｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＭｅｔｈｏｄｓＴｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｔｈｅｏｒｙｉｓａｄｏｐｔｅｄｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅａｆｏｒｅｓａｉｄａｉｍ．ＲｅｓｕｌｔｓａｎｄＣｏｎ－＊＊＊ｃｌｕｓｉｏｎｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅｓａｎｄｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅｓａｒｅｔｈｅｄｕａｌｎｏｔｉｏｎ，ｉ．ｅ．，ｉｆＸｉｓｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅ，ｔｈｅｎＸｉｓｋ－Ｕ－＊＊ｓｐａｃｅ．ＩｆＸｉｓｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅ，ｔ

4、ｈｅｎＸｉｓｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅ．＊＊Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅ；ｋ－Ｕ－ｓｐａｃｅ；ｍｏｄｕｌｕｓｏｆｋ－Ｕ－ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓＭＳＣ２０１０：４６Ｂ１０；４６Ｂ２０１引言及一些记号１９９１年，高继在文献［１－２］中引进了Ｖ－空间和Ｕ－空间的概念，为了刻画Ｖ－空间，他引入了Ｖ－凸性模Ｖ（ε），并得到了它们的一些几何性质。２００４年，赵耀培等在文献［３］中对Ｖ－凸性模进行了改进，给出了Ｕ－凸性模Ｕ（ε），并用它刻画了Ｕ－空间。但未给出它们的对偶概念，也未给出对应的光滑性模。２０１１年，笔者在文献［４］中引入了ｋ－Ｕ－空间和ｋ－Ｖ－空间的概念，为了刻画ｋ－Ｕ－空间和ｋ

5、－Ｖ－空间，我们也引入（ｋ）（ｋ）了ｋ－Ｕ－凸性模Ｕ（ε）和ｋ－Ｖ－凸性模Ｖ（ε），并得到了它们的一些几何性质。本文中，我们对ｋ－Ｕ－空间的对偶概念进行了研究，引入了ｋ－Ｕ－空间的对偶概念———ｋ－Ｕ＊－空间，并给出了相应的光滑性模＊（ｋ）（ε），用它等价刻画了ｋ－Ｕ＊Ｕ－空间，并得到了它的一些性质。本文中，Ｘ表示实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｘ＊表示Ｘ的共轭空间。Ｘ和Ｘ＊的单位球面分别用Ｓ（Ｘ）＝｛ｘ∈＊）＝Ｓ＊表示，单位球分别用Ｕ（Ｘ）＝｛ｘ∈Ｘ：‖ｘ‖≤１｝和Ｕ（Ｘ＊）表示，Ｘ：‖ｘ‖＝１｝＝Ｓ和Ｓ（Ｘ＊：ｘ＊＊，ｘ＊（ｘ）＝‖ｘ‖｝表示在ｘ点达到范数的范数为１的支撑泛函ｘ∈Ｓ

6、（Ｘ），ｘ＝∑（ｘ）＝｛ｘ∈Ｓ＊＊＊的全体，｜｜表示绝对值。ｘ∈Ｓ（Ｘ），记Ａｘ＊＝｛ｘ：ｘ∈Ｓ，ｘ（ｘ）＝‖ｘ‖｝。对φ，用符号Λ（｛｝ｋ，｛ｘ｝ｋ＋１）表示下面的行列式，即ｉ∈ｘｉφｉｉ＝１ｉｉ＝１＊收稿日期：２０１２－０３－０１，修回日期：２０１２－０４－１９，网络出版时间：２０１２－０５－０８０９：２６．基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０６１０２２）作者简介：乌日柴胡（１９８６－），女，蒙古族，内蒙古巴林右旗人，在读硕士研究生，研究方向：Ｂａｎａｃｈ空间理论．Ｅｍａｉｌ：ｗｕｒｉｃｈａｉｈｕ１９＠１６３．ｃｏｍ通讯作者：苏雅拉图（１９６０－），男，蒙古族

7、，内蒙古镶黄旗人，教授，研究方向：Ｂａｎａｃｈ空间理论．Ｅｍａｉｌ：ｓｕｙｉｌａ＠ｉｍｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ第２期乌日柴胡等关于ｋ－Ｕ－空间的对偶空间９１１…１（ｘ）（ｘ）…（ｘ）ｋｋ＋１φ１ｋ＋１φ１ｋφ１１Λ（｛φｉ｝ｉ＝１，｛ｘｉ｝ｉ＝１）＝，（ｘ）（ｘ）…（ｘ）φｋｋ＋１φｋｋφｋ１，用符号Δ（｛ｘ｝ｋ，｛ｆ｝ｋ＋１）表示下面的行列式，即ｘｉ∈Ａｆｉｉ＝１ｉｉ＝１ｉ１１…１ｆｋ＋１（ｘｋ）ｆｋ（ｘｋ）…ｆ１（ｘｋ）ｋ，｛ｆ｝ｋ＋１）＝。Δ（｛ｘｉ｝ｉ＝１ｉｉ＝１ｆｋ＋１（ｘ１）ｆｋ（ｘ