二次曲面类(论文)

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1、第七章第七节二次曲面一、二次曲面简介二、椭球面三、抛物面四、双曲面五、椭球锥面一、二次曲面简介三元二次方程222Ax+By+Cz+Dxy+Eyx+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0(二次项系数不全为0)的图形通常为二次曲面.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法二.椭球面222xyz++=1(a,b,c为正数)a2b2c2z(1)范围：ox≤a,y≤b,z≤cyx(2)与坐标面的交线：椭圆⎧x2y2⎧22⎧22yzxz⎪

2、+=1⎪+=1⎪+=1⎨a2b2,⎨b2c2,⎨a2c2⎪⎩z=0⎪⎩x=0⎪⎩y=0222xyz++=1(a,b,c为正数)222abc(3)截痕:与z=z1(z10,q>0)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.2.双曲抛物面（鞍形曲面）22xy

3、+=z(p,q异号)22pq用截痕法讨论：设pq<0,>01)用坐标面yoz(x=0)，x=x1zLx=0L与曲面相截x=x1o均可得抛物线.yx22xy+=z22pq2)用坐标面zoxy(0=)，(0pq<,0>)平面yy=与曲面相截1zz均可得抛物线.Lzz=(0)>L1x=03)用平面z=z1L=xx1与曲面相截oo可得双曲线.yy用坐标面xoyz(0=)xxLLzz==00与曲面相截可得LLyyyy==11LLyy==00LL=<两条直线.zzzz=11(0)(0)<四、双曲面z1.单叶双曲面222xyz+−=1(a,b,

4、c为正数)222abc平面z=z上的截痕为椭圆.oy1x平面y=y1上的截痕情况:1)y1b时,截痕为双曲线:x2z2y2z−=1−1222acb<0y=y1oy(实轴平行于z轴;x虚轴平行于x轴）2.双叶双曲面z222xyz+−=−1(a,b,c为正数)222abc平面y=y上的截痕为双曲线1oy平面x=x上的截痕为双曲线1x平面z=z(z>c)上的截痕

5、为椭圆11注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:x2y2z21单叶双曲面图形+−=222abc−1双叶双曲面zz五、椭圆锥面22xy2+=z(a,b为正数)22ab在平面z=t上的截痕为椭圆oy22xxy+=1,z=t①22(at)(bt)在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到)内容小结1.空间曲面三元方程F(x,y,z)=02222•球面(x−x0)+(y−y0)+(z−z0)=R•旋转曲面⎧f(y,z)=0如,曲线⎨绕z轴的旋转

6、曲面:⎩x=022f(±x+y,z)=0•柱面如,曲面F(x,y)=0表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程222xyz•椭球面++=1222abc•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面(p,q同号)x2y2x2y2+=z−+=z2p2q2p2q•双曲面:单叶双曲面双叶双曲面x2y2z2222xyz+−=1+−=−1a2b2c2222abc22xy2•椭圆锥面:+=z22ab思考与练习下列方程在空间各表示何种图形？方程空间解析几何中图形zx2+y2=1以z轴为中心轴的圆柱面xoy22x+y=

7、0z轴方程空间解析几何中图形zx2−y2=0两个过z轴且相交的平面xoyxyz=0三个坐标面：x=0,y=0,z=0⎧x2y2绕x轴旋zx2y2z2⎪+=1++=1⎨49转而成的499⎪⎩z=0旋转椭球xoy面方程空间解析几何中图形z⎧y2绕y轴旋222y2⎪x−=1转而成的yx−+z=1⎨4o4⎪⎩z=0单叶旋转x双曲面xx2−y2−z2=1⎧22x−y=1绕x轴旋⎨⎩z=0转而成的双叶旋转oz双曲面y方程空间解析几何中图形z双曲抛物x2−y2=4zy面面oxz⎧y2=4z绕z轴旋22x+y=4z⎨转而成的⎩x=0旋转抛物面oy

8、x