二次曲面教学

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1、第11章多元函数微分法§11-0平面及其方程.二次曲面知识逻辑关系图二次曲面曲面方程定义曲面交线为空间曲线一般式方程几种常见曲面方程空间曲线投影截痕法空间曲线参数式方程曲面围成的空间区域在坐标面投影二次曲面定义柱面坐标如何表示空间区域球面坐标如何表示空间区域重点：常见曲面方程难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影复习：1、平面一般式方程2、直线方程一般式方程求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即引例:解:设轨迹上的动点为轨迹方程.一、二次曲面定义.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,

2、z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,故所求方程为求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.（一）球面例.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.P(x,y,z)如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与xoy平面交点P(x,y,0)P(x,y,0)P(x,y,0)在准线上，从而柱面上任

3、一点P的坐标均满足方程F(x,y)=0.准线C方程柱面方程：F(x,y)=0定义.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线.（二）柱面一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线例.分析方程表示怎样的曲面.解:，表示准线为xoy面的圆C,圆柱面.母线平行于z轴表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)MM0定义.一条平面曲线（三）旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一

4、周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例1.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例2.求xoz面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转叫做单叶旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为叫做双叶旋转双曲面.例3解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为空间曲线的一般方程1、空间曲线的一般方程空

5、间曲线C可看作空间两曲面的交线.二、空间曲线的一般方程注：表示同一条曲线的方程不唯一。例2方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例1柱面f(x,y)=0的准线方程：例3方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.(2)(1)练习空间曲线的向量函数表示空间曲线的参数方程螺旋线的参数方程取时间t为参数，解例.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为例.求空间曲线:绕z轴旋转时的旋转曲面方程.解:点M1绕z轴旋转,转过角度后到点则这就是旋转曲面满足的参数方程.例如,直线绕z轴旋转所得旋转曲面方

6、程为消去t和,得旋转曲面方程为绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为又如,xoz面上的半圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如三、画二次曲面的截痕法三元二次方程画二次曲面的基本方法:截痕法基本类型:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)例方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解最底点（1，2，-1）1.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的直线.2.椭球面椭球面与三个坐标面的交线：图形有界，并且关于坐标面对称。椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为球面方程可写为3.单叶双曲面椭圆.时,

7、截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）双曲线:yoz双曲线:3)x4.双叶双曲面双曲线椭圆双曲线假如将方程中的1换为0，得到椭圆锥面的方程则称双曲面渐近于这个锥面(1)与平面的交线为椭圆.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线,与平面y=k的交线为抛物线xyzo5.椭圆抛物面（3）用坐标面与曲面相截截得抛物线.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面6.双曲抛物面（马鞍面）xyzo内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的