1.4二次曲面

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1、第四节二次曲面与空间曲线教学要求：(1)了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程；母线平行于坐标轴的柱面及常见的二次曲面方程及图形；空间曲线的参数方程和一般方程。(2)会求简单空间曲线在坐标面上的投影。教学重点：常见的二次曲面方程及图形（柱面、旋转曲面、椭球面、圆锥面）；教学难点：旋转曲面教学方法：启发讲解法；教学过程：一、曲面方程的概念曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．如果空间图形与三元方程（组）有下述关系：点在图形上Û点的坐标满足方程（组）则称这个方程（组）为这个曲面的方程，而这个曲面就称为这个方程的图形．如前面讲过的平面Ax+By+

2、Cz+D=0．平面是曲面的特殊情形，我们已经知道，关于的一次方程的图形是平面。本节将讨论几种常见的用的二次方程所表示的曲面。这类曲面称为二次曲面。二、常见的二次曲面及其方程1．球面方程例1求球心在,,上，半径为的球面方程．解设是球面上的任意一点，则=R．得＝即++＝球心在原点、半径为的球面方程为备注2．母线平行于坐标轴的柱面方程（1）动直线沿给定曲线平行移动所形成的曲面，称为柱面．称为母线，定曲线称为准线．（2）求柱面的方程我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标轴的柱面．.设柱面的准线为面上的曲线：，母线平行于轴，求该柱面的方程。分

3、析：显然柱面上任一点的坐标必满足；反过来，满足的点，不管其的坐标是多少，总在此柱面上．因此：方程表示母线平行于轴，准线是面上的曲线的柱面方程．需要注意的是，同一个方程，在平面直角坐标系下,表示一条平面曲线，而在空间直角坐标系下，表示的是母线平行于轴并以面上的曲线为准线的柱面．同理，，分别表示母线平行于轴、轴，准线是面及面上的曲线，的柱面方程．即在空间直角坐标系下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.如（1）方程在平面直角坐标系中，表示坐标面上的一个圆；而在空间直角坐标系中，方程表示以坐标面上

4、的圆为准线、母线平行于轴的柱面．称为圆柱面。备注（2）方程在平面直角坐标系中，表示坐标面上的一个椭圆；而在空间直角坐标系中表示以坐标面上的椭圆为准线、母线平行于轴的柱面．称为椭圆柱面。（3）双曲柱面：（4）抛物柱面：（5）平面抛物柱面3．以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程①旋转曲面：一条平面曲线绕同一平面上定直线旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面，曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转轴．②求旋转曲面方程现在来建立面上的曲线：绕轴旋转所形成的旋转曲面方程。分析得因此求平面曲线：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程，只要在曲线的方程,=0中保持z不变

5、，将换成即得旋转曲面方程．备注同理，曲线C：绕旋转的旋转曲面方程为．思考：曲线：能绕轴旋转得一旋转曲面吗？（否，因为曲线：与轴不在同一平面上）例5将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程．（1）坐标面上的直线，绕轴；（2）坐标面上的抛物线，绕轴；（3）坐标面上的椭圆，分别绕轴．解（1）表示圆锥面．（2）（旋转抛物面）（3）绕轴，得旋转曲面的方程为，即同理，绕轴，得旋转曲面的方程为，即对于一些复杂的空间曲面，需要用坐标面或平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交痕（称为交线）的形状，来了解曲面的全貌．这种方法叫做截痕法。例如（2）

6、该曲面称为旋转抛物面。其特征是：以平行于坐标面的平面截此曲面，其截痕曲线为平面上的圆，且当增大时，圆的半径也随之增大。而以坐标面、坐标面或平行于坐标面、坐标面的平面截曲面得到的交线都是抛物线（如下图2）。当时，旋转抛物面的开口向下。一般地表示的曲面称为椭圆抛物面。（1）曲面称为圆锥面，点O称为圆锥的顶点圆锥面备注坐标面或平行于坐标面、坐标面的平面截曲面得到的交线都是抛物线（如下图2）。当时，旋转抛物面的开口向下。一般地表示的曲面称为椭圆抛物面。（1）曲面称为圆锥面，点O称为圆锥的顶点圆锥面（3）一般地，旋转椭球面为，特别:当时,方程，表示

7、球心在原点，半径为的球面.三、空间曲线的方程1．空间曲线的一般方程定义：（1）为空间曲线的一般方程．备注例4下列方程组各表示什么曲线？（1）（2）解（1）因为是球心在原点、半径为5的球面，是平行于坐标面的平面，因而它们的交线是在平面上的圆。（2）因为第一个方程所表示的球面与（1）相同，是坐标面，因而它们的交线是在坐标面上的圆。若把（2）写成同解方程组它表示母线平行于轴的圆柱面与坐标面的交线。因此可知表示空间曲线的方程组不是惟一的。（2）空间曲线的参数方程对空间曲线来说上动点的坐标也可以用一个变量的函数来表示，形如当时就得到上一个点（），随

8、着的变化便可得到上所有点。上方程组称为空间曲线的参数方程如为曲线的参数方程。有时也用向量形式来表示。四、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为①现在我们来研究由方程组①消去变量后所得的