2019-2020学年湖南省长沙市宁乡市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

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2019-2020学年湖南省长沙市宁乡市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.下列结论中正确的是A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2.正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为A.B.C.6D..若൅ܾ晦，则在同一直角坐标系中，直线ܾ൅1与ܾ1的图象表示正确的是A.B.C.D..圆2൅2ܾ上到直线൅11ܾ的距离等于2的点有A.1个B.2个C.个D.个.在䳌䁨中，ܾ，䳌䁨ܾ晦䳌ܾ6，则角䁨等于A.或B.C.D.66.《张邱建算经》是公元世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意第1页，共16页 思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月按天计共织九匹三丈，问：每天多织多少布？”已知1匹ܾ丈，1丈ܾ1尺，估算出每天多织的布约有A..尺B..尺C..2尺D..尺217.若不等式൅൅1对于一切晦恒成立，则的最小值是2A.B.2C.D.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）8.已知点2晦1、䳌晦2、䁨6晦、1晦6，则正确结论为A.䳌䁞䁞䁨B.䳌C.䁨ܾ䳌D.䁨䳌.如图，在三棱锥䳌䁨中，能推出䳌䁨的条件是A.䳌，䳌䁨䳌B.䳌，䁨C.平面䳌䁨平面䁨，䳌䁨䁨D.平面䳌䁨1.在䳌䁨中，角、䳌、䁨所对的边分别为、、，则正确的结论有A.若‸䳌，则݅‸݅䳌B.若䳌䁨为锐角三角形，则݅‸䳌C.若sin2൅sin2䳌ܾsin2䁨，则䳌䁨为直角三角形D.若݅2ܾ݅2䳌，则䳌䁨一定是等腰三角形11.如图所示，在正方形12中，、分别是12、2的中点，现在沿、、把这个正方形折成一个四面体，使1、2、重合，重合后的点记为，其中成立的有A.平面B.平面C.D.平面第2页，共16页 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.如果用半径为ܾ2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是______．1.若过点1晦1൅和晦2的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围为______．1.设为等差数列的前项和，8ܾ，7ܾ2，则ܾ______．1.已知圆䁨的圆心坐标是晦，半径长是.若直线2൅ܾ与圆䁨相切于点2晦1，则ܾ，ܾ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.已知直线经过点2晦，且斜率为1求直线的方程；2若直线与平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．17.已知集合ܾ22211，䳌ܾ12162，又2䳌ܾ2൅൅，求，的值．第页，共16页 18.䳌䁨的三个内角，䳌，䁨所对的边分别为，，，݅݅䳌൅2ܾ2.t求；tt若2ܾ2൅2，求䳌．1.如图，正方体䳌䁨1䳌1䁨11的棱长为2，、、分别为䳌、䳌䳌1、䳌1䁨1的中点．1求证：1；2求二面角1的正切值．2.已知圆䁨的方程是12൅12ܾ，直线的方程为ܾ൅，求当为何值时．1直线平分圆；第页，共16页 2直线与圆相切．21.已知数列的通项公式为ܾ1，在等差数列数列中，‸，且1൅2൅ܾ1，又1൅1、2൅2、൅成等比数列．1求数列的通项公式；2求数列的前项和．第页，共16页 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：．2.【答案】䁨【解析】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为，则侧面与底面所成的二面角的正切ܾܾ，则二面角等于6，故选C．先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及棱锥的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．第6页，共16页 3.【答案】䳌【解析】解：൅ܾ晦，则在同一直角坐标系中，直线ܾ൅1与ܾ1的图象斜率互为相反数，截距分别为1，1，由选项可知只有䳌符合条件，故选：䳌．利用直线的斜率、截距的意义即可得出结论．本题考查了直线的斜率、截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】䳌【解析】解：2൅2ܾ是一个以晦为圆心，为半径的圆．圆心到൅11ܾ的距离为ܾ൅11ܾ2，即ܾ2，ܾ1，即圆周上到已知直线的距离为1，圆上的点到直线൅11ܾ的距离为2的点有2个．故选：䳌．确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个交点．本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】䁨【解析】【分析】本题考查了正弦定理的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题．直接根据正弦定理即可求出．【解答】第7页，共16页 䳌䁨䳌解：由正弦定理可得ܾ，݅݅䁨䳌݅622，݅䁨ܾܾܾ䳌䁨22䁨，䁨ܾ，故选C．6.【答案】䁨【解析】解：设每天多织尺，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月按天计共织九匹三丈，2ܾ൅ܾ，2解得.2尺．故选：䁨．设每天多织尺，利用等差数列通项公式能估算出每天多织多少布．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.【答案】䁨【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．11由题意可得൅对于一切晦恒成立，求得最小值，令不大于最小值即2可．【解答】21解：不等式൅൅1对于一切晦恒成立，211即有൅对于一切晦恒成立．21由于ܾ൅，当1时，函数递减．1则当ܾ时，取得最小值且为，22第8页，共16页 则有，解得．22则的最小值为．2故选：䁨．8.【答案】䳌䁨【解析】解：䳌ܾ晦晦䁨ܾ晦，䳌ܾ䁨，䳌䁞䁞䁨，䳌䁞䁞䁨，即A正确；䳌ܾ晦晦ܾ晦，䳌ܾ11ܾ，䳌，䳌，即B正确；䁨ܾ6൅ܾ68晦䳌ܾ൅6ܾ68，䁨ܾ䳌，即C正确；䁨ܾ8晦2晦䳌ܾ2晦8，䁨䳌ܾ，䁨䳌，即D正确．故选：䳌䁨．根据点的坐标可求出向量䳌晦䁨的坐标，然后可得出䁨䁞䁞䁨，从而判断A正确；可求出向量䳌晦的坐标，进而得出䳌，从而判断B正确；同样的方法可判断D正确；根据两点间的距离公式可判断C正确．本题考查了利用向量解决几何问题的方法，共线向量基本定理，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】䳌䁨【解析】解：对于，䳌，䳌䁨䳌，不能证明䳌䁨，不合题意；对于䳌，䳌，䁨，䳌䁨ܾ，则平面䳌䁨，又䳌䁨平面䳌䁨，可得䳌䁨，合题意；对于䁨，平面䳌䁨平面䁨，平面䳌䁨平面䁨ܾ䁨，䳌䁨䁨，䳌䁨平面䁨，䳌䁨，合题意；对于，平面䳌䁨，又䳌䁨平面䳌䁨，可得䳌䁨，合题意；故选：䳌䁨．利用线面垂直的判定与性质，即可得出结论．第页，共16页 本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.【答案】䳌䁨【解析】解：若‸䳌，即有2݅‸2݅䳌为䳌䁨的外接圆的半径，则݅‸݅䳌，故A正确；若䳌䁨为锐角三角形，则൅䳌‸，即‸‸䳌，则݅‸sin䳌ܾ䳌，2222故B正确；若sin2൅sin2䳌ܾsin2䁨，则2൅2ܾ2，即䁨为直角，则䳌䁨为直角三角形，故C正确；若݅2ܾ݅2䳌，由，䳌，可得2ܾ2䳌，或2൅2䳌ܾ，即ܾ䳌，或൅䳌ܾ，则䳌䁨是等腰三角形或直角三角形，故D错误．2故选：䳌䁨．由三角形的正弦定理和勾股定理的逆定理、三角函数的诱导公式和正弦函数的单调性可得结论．本题考查三角形的正弦定理和运用，以及三角形的形状，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】䁨【解析】解：正确．在折前正方形12中，11，，折成四面体后，，，又ܾ，平面．错误．根据知，平面．若平面，则䁞䁞，而由图知与明显相交．正确．22即，又ܾ，第1页，共16页 平面，又平面，所以．错误．不垂直于，不垂直于平面．故成立的有．故选：䁨．根据题意，在折叠过程中，始终有11，，即，，由线面垂直的判定定理，得平面，分析四个答案，即可给出正确的选择．本题考查了线面垂直的判定和性质，线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据，垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来，本题属于中档题．12.【答案】【解析】解：半径为ܾ2的半圆弧长为2，圆锥的底面圆的周长为2，圆锥的底面半径为：所以圆锥的高：222ܾ故答案为：．先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查计算能力，是基础题．13.【答案】2晦1【解析】【分析】由直线的倾斜角为钝角，能得出直线的斜率小于，解不等式求出实数的取值范围．本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．【解答】第11页，共16页 解：过点1晦1൅和晦2的直线的倾斜角为钝角，直线的斜率小于，211即，即，解得21，1൅൅2故答案为2晦1．14.【答案】6【解析】【分析】设等差数列的公差为，代入已知可解得1和，代入通项公式可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．【解答】解：设等差数列的公差为，8ܾ，7ܾ2，8781൅ܾ1൅2，27ܾ1൅6ܾ2，解得1ܾ1，ܾ2，ܾ1൅82ܾ6．故答案为：6．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法．由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得，再由两点间的距离公式求半径．【解答】第12页，共16页 解：如图，൅11由圆心与切点的连线与切线垂直，得ܾ，解得ܾ2．22圆心为晦2，则半径ܾ22൅1൅22ܾ．故答案为：2；．16【.答案】解：1由点斜式写出直线的方程为ܾ൅2，化简为൅1ܾ．2由直线与直线平行，可设直线的方程为൅൅ܾ，2൅൅1൅由点到直线的距离公式，得ܾ，即ܾ，2൅2解得ܾ1或ܾ2，故所求直线方程൅൅1ܾ，或൅2ܾ．【解析】1由点斜式写出直线的方程为ܾ൅2，化为一般式．2由直线与直线平行，可设直线的方程为൅൅ܾ，由点到直线的距离公式求得待定系数值，即得所求直线方程．本题考查用点斜式求直线方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键．2211217.【答案】解：ܾ2ܾ22分2ܾ2分䳌ܾ12162ܾ2‸62‸6分ܾ18分䳌ܾ12分又䳌ܾ2൅൅第1页，共16页 不等式2൅൅的解集为12，故方程2൅൅ܾ的两根为1，211分1൅ܾ，解得ܾ1，ܾ21分൅2൅ܾ【解析】通过解指数不等式与对数不等式，求得集合与集合䳌，从而可得䳌，于是可求得方程2൅൅ܾ的两根，继而可求得，．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补运算，属于中档题．18.【答案】解：1由正弦定理可得ܾ2݅，ܾ2݅䳌，ܾ2݅䁨，则2݅݅݅䳌൅2݅䳌2ܾ22݅，则݅䳌sin2൅cos2ܾ2݅，݅䳌则ܾ2，即ܾ2，ܾ݅2；2൅221൅2由余弦定理可得：䳌ܾܾ，2221由ܾ2，则cos䳌ܾ，由‸，则䁨‸䳌，即䳌为锐角，䳌‸，22则䳌ܾ，即䳌ܾ，2䳌为．【解析】1利用正弦定理及同角三角函数的基本关系，即可求得ܾ2；2利用余弦定理及三角形的性质，即可求得䳌的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，同角三角函数的性质，考查转化思想，属于中档题．19.【答案】1证明：连接䳌1C、䳌䁨1，在正方体䳌䁨1䳌1䁨11中，第1页，共16页 、分别为䳌䳌1、䳌1䁨1的中点，䁞䁞䳌䁨1，䳌䁨1䳌1䁨，䳌1䁨，又1䁞䁞䳌1䁨，1．2解：过作于，连接1，在正方体䳌䁨1䳌1䁨11中，1底面䳌䁨，底面䳌䁨，1，，1ܾ，平面1，1平面1，平面1，1平面1，1，1是二面角1的平面角，正方体的棱长为2，为䳌的中点，ܾ1，ܾ2，212中，ܾܾܾ，121中，tan1ܾܾ2ܾ，二面角1的正切值为．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．1连接䳌1C、䳌䁨1，则䁞䁞䳌䁨1，再由1䁞䁞䳌1䁨，䳌1䁨䳌䁨1，能证明1．2过作于，连接1，推导出1是二面角1的平面角，由此能求出二面角1的正切值．20.【答案】解：1直线平分圆，所以圆心在直线上，即有ܾ．2直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，11൅ܾܾܾ2，12൅122解得：ܾ22．第1页，共16页 即ܾ22时，直线与圆相切．【解析】1直接利用已知条件，判断圆心在直线上，进一步求出的值．2根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础题型．21.【答案】解：1ܾ1，1ܾ1，2ܾ，ܾ，在等差数列中，1൅2൅ܾ1，2ܾ．设等差数列的公差为，1൅1、2൅2、൅成等比数列．1൅൅൅ܾ6，解得ܾ1或ܾ2，‸，舍去ܾ1，取ܾ2，1ܾ，ܾ7，ܾ2൅1，ܾ2൅11，2由1知，ܾ1൅൅72൅൅212൅2൅11，ܾ൅2൅7൅൅211൅2൅1，得2ܾ1൅2൅22൅2൅൅212൅12111ܾ൅2൅൅൅൅2൅1ܾ൅22൅1ܾ12൅1ܾ2，ܾ．【解析】1由ܾ1易求1，2，，由1൅2൅ܾ1，可求2ܾ.设等差数列的公差为，由1൅1、2൅2、൅成等比数列可得的方程，解出，求出1，，可得，从而可得；2利用错位相减法可求得．本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．第16页，共16页