专题报告：基于sabr模型的期权波动率曲线套利策略

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1、华泰期货

2、专题报告期权波动率曲线介绍隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入期权理论价格模型，反推出来的波动率数值。从理论上讲，反解出期权的隐含波动率并不困难。由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的市场交易价格代入期权定价公式，就可以从中解出惟一的未知量——隐含波动率。隐含波动率反映的是期权的估值水平。不同行权价、不同期限的期权之间价格差异很大，无法直接比较。通过定价公式将期权市场价格反解得到的隐含波动率，才能够代表期权的真实价值。根据

3、BS模型的常数波动率假设，同种标定资产的期权应有相同的隐含波动率，但实证研究表明，同种标定资产、相同到期日的期权，协定价偏离现货价越多，隐含波动率往往越大。因隐含波动率曲线形似一个人微笑时两端上翘的嘴唇，又称其为“波动率微笑”。图1：期权波动率曲线图2：期权波动率曲面数据来源：华泰期货研究院数据来源：华泰期货研究院期权定价模型介绍1、BlackScholesMerton模型的假设和介绍BSM模型作为期权定价领域的开山之作，属于经典且一直没有落伍的，但是在BSM模型的一些基本假设不满足的情况下(特别是关于波动率的假设)，需要对其进行修正。首先回顾一

4、下BSM模型的假设：（1）标的资产（Underlyingasset）价格变化遵循几何Brown运动。2017-11-172/11华泰期货

5、专题报告（2）无风险利率是常数；（3）标的资产不支付股息；（4）不支付交易费和税收；（5）市场是完全的，不存在套利的。标的资产和期权在无摩擦的环境下连续调仓对冲可以得到无风险组合，因此在未来的波动率已知并且无摩擦的环境下，如果可以连续调仓的话，那么期权价格的高估或者低估都是可以通过这种方法进行套利的。当然现实中不会无摩擦，也不是连续调仓，未来波动率也不可知，但是如果期权价格与正常定价偏离达到一定程度，即考虑了这

6、些不利因素以后，依然偏离较大，那么套利空间就出现了。2、BSM模型的局限性及其改进BSM模型的假定中很重要的一条是标的资产价格服从对数正态分布，但是实际情况并非如此。对上交所50ETF期权各个行权价的期权合约进行测算，通过期权价格反解其隐含波动率，我们会发现隐含波动率明显不是一个常数。表1.50ETF期权价格及隐含波动率数据来源：Wind华泰期货研究院2017-11-173/11华泰期货

7、专题报告在现实情况不满足BSM模型假定的情况下，有两种改进方法，一种是在为模型输入参数的时候考虑到这些违反假设的情况，给一个更大或者更小的输入值。另一种就是建立

8、修正模型。对隐含波动率的修正模型基本分为两种研究思路：一种是直接对隐含波动率建立模型，是假设隐含波动率为行权价和剩余期限的确定函数；另一种思路是基于标的资产服从几何布朗运动的假设进行改进，对标的资产回报的过程建立模型。3、SABR随机波动率模型SABR模型是由Hagan[1]在2002年提出的一种随机波动率模型，在抛弃了原始的BSM模型中对于波动率为某一常数的假定，假设隐含波动率同样是符合几何布朗运动的，并且将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数，结合了隐含波动率修正模型的两种思路（随机波动率模型和局部波动率模型），更为准确的动态刻画出吻合

9、市场特征的隐含波动率曲线。SABR模型假设波动率是对数正态分布的，并且在定价方程里面加入了CEV模型。这样使得模型估计的隐含波动率由两部分组成，一部分是CEV的可预测的部分，而另一部分是在随机波动率模型中的随机的部分。模型对于波动率微笑的拟合以及对冲的效果都比较好，但是解极其复杂，且是有限阶的逼近解。该模型在业界非常流行，但是由于参数比较多，且互相之间有隐含关联，使得有些参数例如beta的估计和经济含义难以得到有效的解释，以及存在近似解的准确性等问题，因此也会存在需要改进的地方。假设条件为：SABR模型抛弃了原始的BSM模型中对于波动率为某一常数

10、的假定，将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数，将标的物远期价格F和波动率α都分别作为一个随机过程，两个随机过程之间是相关的，相关系数为ρ。模型中因子F、α是随机的，参数β，υ，ρ为常数；其中α是类波动率参数，与平值期权隐含波动率有函数关系，υ代表波动率的波动率，表示波动率的聚集状态。而β则决定了标的价格与平值隐含波动率的关系。当β—>1时，该随机模型接近对数正态，β—>0时，该随机模型则接近正态分布。我们根据多方研究结果与测试，将β暂定为0.5。2017-11-174/11华泰期货

11、专题报告模型计算公式：F代表标的物资产远期价格。α代表现

12、在的平值期权隐含波动率参数。K代表期权合约行权价。T代表期权合约剩余期限。图3：SABR模型刻画隐含波动率曲线数据来源：华泰期货研究院隐