8.1 复数的有关概念

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1、8．1复数的有关概念教学目的：1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i。2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律。3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)。4、理解并掌握复数相等的有关概念。教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念，复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的。在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立。课时安排：1课时。教学过程：一、复习引入：数的

2、概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，

3、无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。6因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集。因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，

4、叫做虚数单位.并由此产生的了复数。二、讲解新课：1、虚数单位：(1)它的平方等于-1，即　；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2、与－1的关系：就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1。4、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*。3、复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式。4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0

5、时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。65、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小。现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当

6、两个复数不全是实数时才不能比较大小。　7、复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系。这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，

7、复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚