河南省中考原创押题数学试卷含答案解析

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2016年河南省中考原创押题数学试卷（三）　一、选择题1．（﹣2）×3的结果是（　　）A．﹣5B．1C．﹣6D．62．下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）A．2x=mB．x2=mC．=mD．=m3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（　　）A．B．C．D．4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（　　）棉花纤维长度x频数0≤x＜818≤x＜16216≤x＜24824≤x＜32632≤x＜403A．0.8B．0.7C．0.4D．0.25．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（　　）A．B．C．D．6．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（　　） A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠27．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）A．B．C．4D．58．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个　二、填空题9．计算：（+1）（3﹣）=　　．10．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为　　． 11．分解因式：（x﹣1）2﹣4=　　．12．若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第　　象限．13．受国际金融危机的影响，2016中国房地产有所波动，某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为　　．14．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　　．15．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．　三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=tan60°﹣1．17．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是　　（直接写出这个条件）． 18．学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生活，为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．19．2016年清明小长假，所有高速公路对七座以下的机动车辆免收高速费，很多人都走出家门，投入大自然的环抱，进行自驾游．如图所示，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）20．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发xmin后，到达离奥体中心ym的地方，图中线段AB表示y与x之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为　　m；她骑自行车的速度为　　m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？ 21．“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？22．如图1所示，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．【类比联想】（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．【拓展延伸】如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．（3）当a=　　　米时，a=b． （4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．　 2016年河南省中考原创押题数学试卷（三）参考答案与试题解析　一、选择题1．（﹣2）×3的结果是（　　）A．﹣5B．1C．﹣6D．6【考点】有理数的乘法．【专题】计算题．【分析】根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得答案．【解答】解：原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的运算．　2．下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）A．2x=mB．x2=mC．=mD．=m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C.=m，当m=0或﹣时无解；D.=m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．　3．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（　　） A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．【解答】解：从几何体的上面看俯视图是，故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．　4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（　　）棉花纤维长度x频数0≤x＜818≤x＜16216≤x＜24824≤x＜32632≤x＜403A．0.8B．0.7C．0.4D．0.2【考点】频数（率）分布表．【专题】图表型．【分析】求得在8≤x＜32这个范围的频数，根据频率的计算公式即可求解．【解答】解：在8≤x＜32这个范围的频数是：2+8+6=16，则在8≤x＜32这个范围的频率是：=0.8．故选；A．【点评】本题考查了频数分布表，用到的知识点是：频率=频数÷总数．　 5．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（　　）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】分别求出圆和正方形的面积，它们的面积比即为针头扎在阴影区域内的概率．【解答】解：正方形的面积=4×4=16cm2，圆的面积=πcm2，针头扎在阴影区域内的概率为．故选C．【点评】本题是一个随机实验，考查了几何概率，针头扎在阴影部分的概率为圆与正方形的面积比．　6．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（　　）A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠2【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形内角和定理和三角形外角性质进行判断．【解答】解：A、如图，∠7+∠4+∠5=180°，∠1=∠7，则∠1+∠5+∠4=180°．故本选项正确；B、如图，由三角形外角性质知：∠4+∠5=∠2．故本选项正确；C、如图，根据对顶角相等，三角形内角和是180度得到：∠1+∠3+∠6=180°．故本选项正确；D、如图，根据对顶角相等，三角形外角性质得到：∠3+∠6=∠2．故本选项错误；故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质．解题时，充分利用了“对顶角相等”这一性质．　7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）A．B．C．4D．5【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．　8．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】反比例函数综合题．【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，∴CF===8，在Rt△OCF中，∵OC=10，CF=8，∴OF===6，∴C（6，8），∵点D时线段AC的中点，∴D点坐标为（，），即（8，4），∵双曲线y=（x＞0）经过D点，∴4=，即k=32，∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故①错误；∵CF=8，∴直线CB的解析式为y=8， ∴，解得x=4，y=8，∴E点坐标为（4，8），故②错误；∵CF=8，OC=10，∴sin∠COA===，故③正确；∵A（10，0），C（6，8），∴AC==4，∵OB•AC=160，∴OB===8，∴AC+OB=4+8=12，故④正确．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．　二、填空题9．计算：（+1）（3﹣）=　2　．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式=（+1）（﹣1）=×（3﹣1）=2．故答案为2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．　10．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为　2.5×107　．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107．故答案为：2.5×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　11．分解因式：（x﹣1）2﹣4=　（x+1）（x﹣3）　．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行分解即可．【解答】解：（x﹣1）2﹣4，=（x﹣1）2﹣22，=（x﹣1﹣2）（x﹣1+2），=（x﹣3）（x+1），故答案为：（x﹣3）（x+1）．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特点：①多项式必须是二项式，②两项都能写成平方的形式，③符号相反．　12．若点P（x，y）在函数y=+的图象上，那么点P在平面直角坐标系中第　二　象限．【考点】函数关系式．【分析】因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．从而可以得到x＜0，由x2＞0，≥0可以得＞0，∴y=＞0，即求出点P所在的象限． 【解答】解：∵，∴x＜0，又∵x＜0，∴＞0，即y＞0，∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号．　13．受国际金融危机的影响，2016中国房地产有所波动，某商品房经过两次降价，由5000元/平方米降为3200元/平方米．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为　20%　．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得5000×（1﹣x）2=3200，解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.2，即20%．故答案是：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．　14．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　3　．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为15，AB=10，∴×10•CE=15，∴CE=3．即CM+MN的最小值为3．故答案为3．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．　15．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　①②④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC 故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．　三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=tan60°﹣1．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=﹣1时，原式==2+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　17．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO． （1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是　EF⊥AC　（直接写出这个条件）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC，然后证明△AOE≌△COF，可得CF=AE，再证明DE=BF，进而可证明△ABF≌△CDE；（2）在证明△AOE≌△COF的过程中，只需要∠AOE=∠FOC，对顶角相等即可，无需垂直，因此EF⊥AC是多余条件．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC．∵AD∥BC．∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴CF=AE，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）．（2）解：EF⊥AC． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．　18．学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生活，为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解；（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【解答】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生； （2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；补全折线图如图；（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°；（4）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．　19．2016年清明小长假，所有高速公路对七座以下的机动车辆免收高速费，很多人都走出家门，投入大自然的环抱，进行自驾游．如图所示，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）【考点】勾股定理的应用． 【分析】过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．【解答】解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故两高速公路间的距离为（25+5）km．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．　20．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发xmin后，到达离奥体中心ym的地方，图中线段AB表示y与x之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为　6000　m；她骑自行车的速度为　200　m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？ 【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象可得，小敏家离奥体中心的距离为6000米，她所用时间为30分钟，根据速度=路程÷时间，即可解答；（2）利用待定系数法，即可求函数解析式；（3）小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y1=0时，x=25.30﹣25=5．即小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟．【解答】解：（1）小敏家离奥体中心的距离为6000米，她骑自行车的速度为：6000÷30=200（米/分钟）．故答案为：6000，200；（2）设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点A（0，6000），B（30，0）代入y=kx+b得：，解得．∴AB所在直线的函数表达式为y=﹣200x+6000．（3）∵小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．∴小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y1=0时，x=25．30﹣25=5．∴小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟． 【点评】本题考查了一次函数的应用，利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．　21．“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】计算题．【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2件，列出等式求得x的值即可；（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的最大值．【解答】解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，解得：x=40或x=60；答：售价应定为40元或60元．（2）设利润为y元，得：y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），即：y=﹣2x2+200x﹣3200；∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=﹣=50时，y取得最大值；又x≤40，则在x=40时可取得最大值，即y最大=1600．答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是对题意的正确理解．　 22．如图1所示，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB′等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．【类比联想】（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．【拓展延伸】如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．（3）当a=　1　　米时，a=b．（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°，故四边形DGEH是平行四边形，再由ASA定理得出△ABF≌△DAH，由此可得出结论； （2）作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N，根据直角三角形的性质得出∠1+∠2=90°，再根据四边形ABCD是矩形可知∠3+∠2=90°，由相似三角形的性质得出△ABN∽△DAM，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP，由题意可得DBPC为平行四边形，可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．（4）若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等边对等角可知∠3＜∠5，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．∵GE⊥AF，∴DH∥GE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，在△ABF与△DAH中，，∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴AF=GE；（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM， ∴===，∴y=；（3）解：∵CO=4﹣a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC2=（4﹣a）2+（3+b）2，即（4﹣a）2+（3+b）2=52．当a=b时，有（4﹣a）2+（3+a）2=25，解得a=1或a=0（不合题意）．故答案为：1；（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD．又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3＜∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3==，同理sin∠5==，由题意得，＞，解得，即0＜a＜1． 【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解答时，要灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理和性质定理．　23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）存在． 抛物线的对称轴为直线x=﹣=，则D（，0），∴CD===，如图1，当CP=CD时，则P1（，4）；当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，而S△BCD=×2×（4﹣）=，∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），=﹣（x﹣2）2+当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．