立体几何例题精解

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1、1、已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.解：（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，即.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即又∵M是AB的中点，（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平

2、面角由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DN⊥PC又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，而N是PC中点，则必有PM=MC.此时.即二面角P—CD—A的大小为（Ⅲ），∥＝连结BD交AC于O，连结NO，则NOPA.且NO⊥平面AMD，由PA=a.2、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B

3、两点间的距离。解：（I）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B1F∵B1B⊥平面ABCD∴B1F⊥MN则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角在Rt△B1FB中，设B1B=1，则∴（II）过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连接BE又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1又BE⊥B1M∴PB⊥MB1又MN∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥MN又PD⊥平面ABCD∴PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1（III），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E

4、(Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E；(Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的正切值(1)证明：连接A1C1交B1D1于点O∵ABCD－A1B1C1D1是长方体∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，根据三垂线定理得：AC1⊥B1D1；∵AB⊥平面BCC1B1，且BC1⊥B1E，∴AC1⊥B1E∵B1D1∩B1E=B1，∴AC1⊥平面B1D1E1(2)解：在RT△BB1C1中，在RT△EC1B1中，C1E=B1C1·tan∠C1B1E=B1C1·cot∠BC1B1=2，∴VC1

5、－B1D1E=VD1－B1C1E=(3)解：连接OE，∵△B1C1E1≌△D1C1E1，∴B1E=D1E∵O是B1D1中点，∴B1D1⊥OE，∴∠C1OE是二面角E―B1D1―C1的平面角在RT△OC1E中，∵4、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60 ．（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的正切值．ADBCEABCED第4题图答案：如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D－AE－B的平面角，∠DMN

6、＝60 ，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则AC⊥平面DMN．（Ⅰ）在平面DMN内，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC．连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角．如图1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，，（Ⅱ）如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DF，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D－EC－B的平面角．如图1，作OF⊥DC于F，则Rt△EMD∽Rt△OFD，∴如图2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM·cos60 ＝．如图1，在Rt△D

7、FO中，