maxwell方程的张量与外微分形式

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Maxwell方程的张量与外微分形式中山大学《电动力学》课程专题扩展讨论教案张宏浩（中大理工学院）Contents1真真真空空空中中中的的的Maxwell方方方程程程12张张张量量量形形形式式式13外外外微微微分分分形形形式式式44思思思考考考题题题71真真真空空空中中中的的的Maxwell方方方程程程真空中的Maxwell方程组可显式地写为r¢E~=0(1)1@E~r£B~=(2)c@tr¢B~=0(3)1@B~r£E~=¡(4)c@t我们首先把(1),(2),(3),(4)改写为张量形式。2张张张量量量形形形式式式记Minkowski时空度规为´¹º=diag(¡1;1;1;1)(5)1 四维时空坐标记为¹ºx´(ct;~x);x¹=´¹ºx=(¡ct;~x)(6)引入电磁势A¹=(A0;A~)使得B~=r£A~(7)E~=¡rA0¡1@A~(8)c@t即iijk1ijkBi=B=²@jAk=²(@jAk¡@kAj)(9)2iEi=E=@iA0¡@0Ai(10)注意在(5)的度规约定下0iA0=¡A;Ai=A(11)定义场强张量为F¹º=@¹Aº¡@ºA¹=Aº;¹¡A¹;º(12)则(9),(10)成为i1ijk1ijkjkii0Bi=B=²Fjk=²F;Ei=E=Fi0=¡F(13)22或显式地010¡E1¡E2¡E3BBE10B3¡B2CCF¹º=@E¡B0BA(14)231E3B2¡B10010E1E2E3¹ºBB¡E10B3¡B2CCF=(15)@¡E2¡B30B1A¡E3B2¡B102 有了这些准备，下面我们将Maxwell方程组(1),(2),(3),(4)逐个写为张量形式。首先，(1)成为iii0¹0=@Ei=@Fi0=@Fi0+@F00=@F¹0(16)其次，由(2)得ijk²@jBk=@0Eiijk1kmn)²@j(²Fmn)=@0Fi021kijkmn)²²@jFmn=@0Fi021imjninjm)(±±¡±±)@jFmn=@0Fi021)(@jFij¡@jFji)=@0Fi02)¡@jFji=@0Fi0j0¹)0=@jFji¡@0F0i=@Fji+@F0i=@F¹i(17)这里我们用到了恒等式kijkmnimjninjm²²=±±¡±±(18)结合(16),(17)可得¹@F¹º=0(19)再次，由(3)得1ijk1ijk10ijk0=@iBi=@i(²Fjk)=²@iFjk=²@iFjk(20)222这里Levi-Civita张量²¹º½¾约定为²0123=1，因此有0ijkijk²=²(21)最后，由(4)得ijk1ijk²@jEk=¡@0Bi=¡@0²Fjk2ijk1ijk)²@jFk0=¡²@0Fjk23 0ijk10ijk1i0jk)²@jFk0=¡²@0Fjk=²@0Fjk220ijk1i0jkijk01i0jk)0=¡²@jFk0+²@0Fjk=²@jFk0+²@0Fjk221ijk01ij0k1i0jk)0=²@jFk0+²@jF0k+²@0Fjk2221i¹º½)0=²@¹Fº½(22)2结合(20),(22)可得1¹º½¾²@ºF½¾=0(23)2容易看出上式对于F¹º=@¹Aº¡@ºA¹的定义是自动成立的，事实上这正是我们可以这样引入电磁势A¹的出发点。定义F¹º的对偶场为¤¹º1¹º½¾F´²F½¾(24)2则(23)成为¤¹º@ºF=0(25)综上所述，真空中的Maxwell方程组为¹º@¹F=0(26)¤¹º¤¹º1¹º½¾@¹F=0;F´²F½¾(27)23外外外微微微分分分形形形式式式在Minkowski时空通过电磁势A¹引入1-形式场¸如下¹¸´A¹dx(28)则º¹®´d¸=@ºA¹dx^dx1º¹1¹º=(@ºA¹¡@¹Aº)dx^dx=F¹ºdx^dx(29)224 由Poincare引理，立得1½¹º0=d(d¸)=@½F¹ºdx^dx^dx(30)2在n维黎曼流形可定义Hodge-¤算符如下：¤i1ip1i1¢¢¢ipip+1¢¢¢in(dx^¢¢¢^dx)´²dxip+1^¢¢¢^dxin(n¡p)!1i1¢¢¢ipip+1¢¢¢inkp+1kn=²gip+1kp+1¢¢¢ginkndx^¢¢¢^dx(31)(n¡p)!例如，对于四维Minkowski流形，度规g¹º=´¹º=diag(¡1;1;1;1)，¤001230123123dx=²dx1^dx2^dx3=²dx^dx^dx123=dx^dx^dx(32)¤110231023023dx=²dx0^dx2^dx3=¡²dx^dx^dx0123023023=²dx^dx^dx=dx^dx^dx(33)¤2031dx=dx^dx^dx(34)¤3012dx=dx^dx^dx(35)¤01012323(dx^dx)=²dx2^dx3=dx^dx(36)¤0231(dx^dx)=dx^dx(37)¤0312(dx^dx)=dx^dx(38)¤1230(dx^dx)=dx^dx(39)¤2310(dx^dx)=dx^dx(40)¤3120(dx^dx)=dx^dx(41)因此ijkijk1230ijk¤0ijk0¤dx^dx^dx=²dx^dx^dx=²dx=²dx0(42)0ijijk¤k0ijk¤k0ijk¤dx^dx^dx=²dx=²dx=²dxk(43)结合(42),(43)，有½¹º½¹º¾¤dx^dx^dx=²dx¾(44)5 代入(31)得1½¹º¾¤0=@½F¹º²dx¾(45)2因此1½¹º¾1½¾¹º¤½¾0=@½F¹º²=@½F¹º²=@½F(46)22此即Maxwell方程之一(27)。下面对(29)求¤得¤¤1¤¹º®=d¸=F¹º(dx^dx)211¹º½¾1¹º½¾=F¹º²dx½^dx¾=F¹º²dx½^dx¾(47)224下面我们论证d(¤®)=0正是另一Maxwell方程：¤1¹º½¾¿0=d(®)=@¿F¹º²dx^dx½^dx¾41¹º½¾¿0¿=@¿F¹º²dx½^dx¾^dx¿0g41¹º½¾¤±¿0¿=@¿F¹º²²½¾¿0±dxg41¹º¹º¤±¿0¿=@¿F¹º2(±¿0±±¡±±±¿0)dxg41¹º¹º¤±¿0¿=@¿F¹º(±¿0±±¡±±±¿0)dxg21¤±¿0¿=(@¿F¿0±¡@¿F±¿0)dxg2¿0¿¤±¿¤±=g@¿F¿0±dx=@F¿±dx(48)因此¿0=@F¿±(49)此即Maxwell方程(26)。综上所述，Maxwell方程可用外微分形式写为1¹º0=d®;®´F¹ºdx^dx(50)2¤¤1¤¹º0=d(®);®=F¹ºdx^dx(51)26 或¹0=d(d¸);¸´A¹dx(52)¤0=d(d¸)(53)4思思思考考考题题题以下思考题可作为课外小论文，如果做得深入的话也可作为本科毕业论文题目。请在教师指导下选做。²试将¤F¹º显式地用E~,B~为元素的矩阵表达出来。²试将上面的讨论推广到含外源的Maxwell方程组。²试将上面的讨论推广到介质中的Maxwell方程组。²假如存在磁荷，则Maxwell方程组该如何改写？上面的讨论哪些仍然适用，哪些不适用？²试用外微分形式推导出Poynting定理。²试将上面的讨论推广到Einstein-Maxwell理论。²试将上面的讨论推广到Yang-Mills理论。²试将上面的讨论推广到Einstein-Yang-Mills理论。7